大学入試センター試験 2012年(平成24年) 追試 数学ⅡB 第2問 解説

ア~サ

$C$の式を微分すると
$y'=2x+2$
なので、点$(a,a^{2}+2a-3)$における接線の傾きは
$2a+2$
である。
傾きが$2a+2$の直線が点$(a,a^{2}+2a-3)$を通るので、接線の方程式は
$y-(a^{2}+2a-3)=(2a+2)(x-a)$
$y=(2a+2)(x-a)+(a^{2}+2a-3)$
途中式 $y$$=(2a+2)x-(2a+2)a+(a^{2}+2a-3)$
$y$$=(2a+2)x-2a^{2}-2a+a^{2}+2a-3$
$y$$=(2a+2)x-a^{2}-3$
である。

解答ア:2, イ:a, ウ:2, エ:2, オ:3

これに$a=0$を代入すると、
$y=2x-3$
となる。

解答カ:2, キ:3


図A
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅡB第2問 解説図A

ここまでの結果をグラフにすると、図Aができる。
図A中の赤い部分の面積を求める。

面積$S$は、
$S=\displaystyle \int_{b}^{c}\{(x^{2}+2x-3)-(2x-3)\}dx$
途中式 $S\displaystyle $$\displaystyle =\int_{b}^{c}x^{2}sx$
$S$$=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{b}^{c}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}(c^{3}-b^{3})$式A
である。

解答ク:3, ケ:c, コ:3, サ:b

アドバイス

今回は式が簡単なので、普通に積分した。
式に分数やら根号やら文字やらが含まれていて面倒なときは、図Bのオレンジの台形から青い部分を引くなどの方法を使った方が計算が楽になる。青い部分の面積を求めるときには、$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使える。詳細はこのページ参照。

図B
大学入試センター試験2012年追試 数学ⅡB第2問 解説図B

シ~ニ

$b=-|t-1|-4$,$c=4t+1$とおく。

アドバイス

絶対値は面倒なので、一番に消そう。

復習

絶対値のはずし方は2種類あって、
場合分け 2乗する だった。

$b$の式の絶対値をはずしたいけれど、今回は2乗はムリ。なので、場合分けをして消そう。

$0\leqq t$なので、$b$の式は、
$t-1\leqq 0$つまり
$0\leqq t\leqq 1$のとき、
$b=-\{-(t-1)\}-4$
$b$$=t-1-4$
$b$$=t-5$
$0 \lt t-1$つまり
$1 \lt t$のとき、
$b=-(t-1)-4$
$b$$=-(t-1+4)$
$b$$=-(t+3)$
と書ける。

これと$c=4t+1$を式Aに代入して、
$0\leqq t\leqq 1$のとき、
$S=\displaystyle \frac{1}{3}\{(4t+1)^{3}-(t-5)^{3}\}$式B
$1 \lt t$のとき、
$S=\displaystyle \frac{1}{3}\{(4t+1)^{3}+(t+3)^{3}\}$式C
である。

解答シ:4, ス:1, セ:5, ソ:3

アドバイス

式Aでは$b^{3}$の前は-だけど、問題文中のソの式を見ると、$(t+$ソ$)^{3}$の前が$+$になっている。
このことから、$b$は$-(t+$ソ$)$だと考えられる。
そのため、$1 \lt t$のときの$b$を求めるときに
$b=-t-3$
とせずに
$b=-(t+3)$
とした。


次は$S$の増減を調べろという。

アドバイス

数Ⅲの範囲だと式Bや式Cをそのまま微分できるんだけど、数Ⅱだと$\{\}$内を展開しないといけない。
$\{\}$内は$A^{3}-B^{3}$の形なので因数分解できるけど、後で微分するから、因数分解した形じゃ使えない。なので、しかたないから展開する。
展開するのだけれど、下の式Dを見ると、係数に$3$が多い。しかも$()$の前に$\displaystyle \frac{1}{3}$がある。約分できるんじゃないかという予想から、$\times 3$の計算はしない。計算しちゃうと、あとでまた同じ$3$で割ることになる。無駄だし、計算間違いも招く。

$0\leqq t\leqq 1$のとき、式Bを展開して、
$S=\displaystyle \frac{1}{3}[\{(4t)^{3}+3(4t)^{2}+3(4t)+1\}$
            $-(t^{3}-3\cdot 5t^{2}+3\cdot 5^{2}t-5^{3})]$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}(4^{3}t^{3}+3\cdot 4^{2}t^{2}+3\cdot 4t+1$
            $-t^{3}+3\cdot 5t^{2}-3\cdot 5^{2}t+5^{3})$式D
途中式 $S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}\{(4^{3}-1)t^{3}+(3\cdot 4^{2}+3\cdot 5)t^{2}$
            $+(3\cdot 4-3\cdot 5^{2})t+(1+5^{3})\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}\{63t^{3}+3(4^{2}+5)t^{2}+3(4-5^{2})t+126\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}(3\cdot 21t^{3}+3\cdot 21t^{2}-3\cdot 21t+3\cdot 42)$
$S$$=21t^{3}+21t^{2}-21t+42$
$S$$=21(t^{3}+t^{2}-t+2)$式E

アドバイス

この問題では、あとで$S$の値を出さないといけないので、定数項の$(1+5^{3})$の計算もした。
微分するだけでいいのなら、定数項の計算はしない。せっかく計算しても、微分すれば消えてしまう。

式Eを微分して、
$S'=21(3t^{2}+2t-1)$

$()$の中をさらに因数分解だ。
$S'=21(t+1)(3t-1)$
よって、
$t=-1,\displaystyle \frac{1}{3}$のときに$S'=0$

$0\leqq t\leqq 1$なので、この範囲で増減表を書くと、

表C
$t$ $0$ $\cdots$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $\cdots$ $1$
$S'$ - $0$ $+$
$S$ $\searrow$ $\nearrow$

となるので、最小値は
$t=\displaystyle \frac{1}{3}$
のとき。

解答タ:1, チ:3


$1 \lt t$のとき、式Cを展開して、
$S=\displaystyle \frac{1}{3}[\{(4t)^{3}+3(4t)^{2}+3(4t)+1\}$
途中式             $+(t^{3}+3\cdot 3t^{2}+3\cdot 3^{2}t+3^{3})]$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}(4^{3}t^{3}+3\cdot 4^{2}t^{2}+3\cdot 4t+1$
            $+t^{3}+3\cdot 3t^{2}+3\cdot 3^{2}t+3^{3})$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}\{(4^{3}+1)t^{3}+(3\cdot 4^{2}+3\cdot 3)t^{2}$
            $+(3\cdot 4+3\cdot 3^{2})t+(1+3^{3})\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}\{65t^{3}+3(4^{2}+3)t^{2}+3(4+3^{2})t+(1+3^{3})\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}\{65t^{3}+3\cdot 19t^{2}+3\cdot 13t+(1+3^{3})\}$
これを微分して、
$S'=\displaystyle \frac{1}{3}(3\cdot 65t^{2}+2\cdot 3\cdot 19t+3\cdot 13)$
$S'$$=65t^{2}+2\cdot 19t+13$

この式は、判別式が
$D=(2\cdot 19)^{2}-4\cdot 65\cdot 13 \lt 0$
なので、$S'=0$にはならない。
$1 \lt t$の範囲で増減表を書くと、

表D
$t$ $1$ $\cdots$
$S'$ $+$
$S$ $\nearrow$

である。

解答ツ:2


表Cと表Dを合わせると、

表E
$t$ $0$ $\cdots$ $\displaystyle \frac{1}{3}$ $\cdots$ $1$ $\cdots$
$S'$ - $0$ $+$ $+$
$S$ $\searrow$ $\nearrow$ $\nearrow$

となる。

よって、$S$が最小となるのは$t=\displaystyle \frac{1}{3}$のときで、最小値は式Eから計算だ。

$S=21\cdot\left\{\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-\left(\frac{1}{3}\right)+2\right\}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{21}{3^{3}}(1+3-3^{2}+2\cdot 3^{3})$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{7}{3^{2}}\cdot 49$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{343}{9}$
である。

解答テ:3, ト:4, ナ:3, ニ:9