①式の真数条件から、
$x^{2}-2x \gt 0$
$x(x-2) \gt 0$
となるので、
$x \lt 0$，$2 \lt x$式Ａ
である。

$\log_{3}3=1$なので、①式は
$\log_{3}(x^{2}-2x) \lt \log_{3}3$
と書ける。
底の３は１より大きいので、これはさらに
$x^{2}-2x \lt 3$
となる。

これを解いて、
$x^{2}-2x-3 \lt 0$
$(x+1)(x-3) \lt 0$
$-1 \lt x \lt 3$式Ｂ
である。

式Ａと式Ｂの共通部分が解なので、求める解は
$-1 \lt x \lt 0$，$2 \lt x \lt 3$式Ｃ
となる。

解答ア：１, イ：０, ウ：２, エ：３

$y=2x^{2}+2x+1$式Ｄ
とおく。

このグラフの頂点は、
$y=2(x^{2}+x)+1$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{y}&=2\left\{x^{2}+x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right\}+1\\ &=2\left\{x^{2}+x+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}\right\}-2\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+1 \end{align} $$

$\phantom{y}=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\dfrac{1}{2}$
より、
$\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$
である。
これは式Ｃの定義域に含まれる。

式Ｄの範囲を求めると、
$x=-1$のとき、
$$ \begin{align} y&=2(-1)^{2}+2(-1)+1\\ &=1 \end{align} $$ $x=0$のとき、
$$ \begin{align} y&=2\cdot 0+2\cdot 0+1\\ &=1 \end{align} $$ $x=2$のとき、
$$ \begin{align} y&=2\cdot 2^{2}+2\cdot 2+1\\ &=13 \end{align} $$ $x=3$のとき、
$$ \begin{align} y&=2\cdot 3^{2}+2\cdot 3+1\\ &=25 \end{align} $$

以上より、式Ｄのグラフを描くと図Ａができる。

式Ｄで$y=2x^{2}+2x+1$とおいたので、問題の方程式
$u=\log_{2} (2x^{2}+2x+1)$
は
$u=\log_{2}y$
となる。
これを変形して、
$y=2^{u}$式Ｅ
となる。
この$u$が整数なので、$y$が２の整数乗になるときを考える。

図Ａより、$2 \lt x \lt 3$のとき$13 \lt y \lt 25$なので、この範囲で２の整数乗を探すと、
$13 \lt 2^{4} \lt 25$
が見つかる。
よって、
$y=2^{4}$式Ｆ
$y$をもとにもどして、
$$ \begin{align} 2x^{2}+2x+1&=2^{4}\\ &=16 \class{tex_formula}{②} \end{align} $$ である。

解答オ：１, カ：６

このとき、式Ｅ$=$式Ｆより、
$2^{u}=2^{4}$
$u=4$
である。

解答キ：４

このときの$x$は、②式を解いて、
$2x^{2}+2x+1=16$
$2x^{2}+2x-15=0$
解の公式より、
$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 2\cdot(-15)}}{2\cdot 2}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{x}&=\dfrac{-2\pm\sqrt{2^{2}\{1-2\cdot(-15)\}}}{2\cdot 2}\\ &=\dfrac{-2\pm 2\sqrt{1+30}}{2\cdot 2} \end{align} $$

$\phantom{x}=\dfrac{-1\pm\sqrt{31}}{2}$
このうち$2 \lt x \lt 3$の範囲に入るのは
$x=\dfrac{-1+\sqrt{31}}{2}$
である。

解答ク：３, ケ：１

図Ａより、$-1 \lt x \lt 0$のとき$\dfrac{1}{2}\leqq y \lt 1$なので、この範囲で２の整数乗を探すと、
$\dfrac{1}{2}\leqq 2^{-1} \lt 1$
が見つかる。
よって、
$y=2^{-1}$式Ｇ
$y$をもとにもどして、
$$ \begin{align} 2x^{2}+2x+1&=2^{-1}\\ &=\dfrac{1}{2} \class{tex_formula}{③} \end{align} $$ である。

解答コ：１, サ：２

このとき、式Ｅ$=$式Ｇより、
$2^{u}=2^{-1}$
$u=-1$
である。

解答シ：－, ス：１

このときの$x$は、$y=2^{-1}=\dfrac{1}{2}$となるときの$x$なので、図Ａより
$x=-\dfrac{1}{2}$
である。

解答セ：－, ソ：１, タ：２

別解

上の解法の方がおすすめだけど、セソタは②式を解いても求められる。

③式を解いて、
$2x^{2}+2x+1=\dfrac{1}{2}$

途中式

$4x^{2}+4x+2=1$
$4x^{2}+4x+1=0$
$(2x+1)^{2}=0$

$x=-\dfrac{1}{2}$
である。

解答セ：－, ソ：１, タ：２