この問題では、漸化式のいろんなパターンを使う。
なので、最初にちょっと復習をしておこう。

$\{a_{n}\}$は公比が$3$の等比数列なので、初項を$a_{1}$として、
$a_{n}=a_{1}\cdot 3^{n-1}$
とかける。

これに$n=2$，$a_{2}=162$を代入すると
$162=a_{1}\cdot 3^{2-1}$
$$ \begin{align} a_{1}&=\dfrac{162}{3}\\ &=54 \end{align} $$ となる。

よって、一般項$a_{n}$は
$a_{n}=54\cdot 3^{n-1}$
である。

解答ア：５, イ：４, ウ：３

$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}$
に$a_{1}=54$を代入して、
$$ \begin{align} b_{1}&=\dfrac{54}{2}\\ &=27\class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$

また、①式に$a_{n}$の一般項を代入して、
$b_{n+1}=3b_{n}+54\cdot 3^{n-1}$①'

ここで、
$x_{n}=\dfrac{b_{n}}{3^{n}}$式Ｂ
なので、
$b_{n}=3^{n}x_{n}$ $b_{n+1}=3^{n+1}x_{n+1}$

これを①'式に代入すると、
$3^{n+1}x_{n+1}=3\cdot 3^{n}x_{n}+54\cdot 3^{n-1}$
両辺を$3^{n+1}$で割って、
$x_{n+1}=x_{n}+\dfrac{54}{3^{2}}$
$x_{n+1}=x_{n}+6$式Ｃ
である。

解答エ：６

最初に復習したように、式Ｃは漸化式の基本の形の１つめなので、$\{x_{n}\}$は公差$6$の等差数列。
初項は、式Ｂに式Ａを代入して、
$$ \begin{align} x_{1}&=\dfrac{27}{3^{1}}\\ &=9 \end{align} $$ より、$9$である。
よって、一般項$x_{n}$は、
$$ \begin{align} x_{n}&=x_{1}+(n-1)d\\ &=9+(n-1)\cdot 6\\ &=6n+3\class{tex_formula}{式Ｄ} \end{align} $$ となる。

式Ｂより$x_{n}=\dfrac{b_{n}}{3^{n}}$なので、
$\dfrac{b_{n}}{3^{n}}=6n+3$
$$ \begin{align} b_{n}&=3^{n}(6n+3)\\ &=3^{n+1}(2n+1)\class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$ である。

また、$\dfrac{b_{10}}{3^{10}}=x_{10}$は、式Ｄの$x_{n}$の一般項より、
$$ \begin{align} x_{10}&=6\cdot 10+3\\ &=63 \end{align} $$ である。

解答オ：６, カ：３

①式の$n$に$n=1$，$2$，$3$，$\cdots$と代入して、全部たしてみよう。

	$ b_{2}$	$=$	$3b_{1}$	$+$	$a_{1}$
	$ b_{3}$	$=$	$3b_{2}$	$+$	$a_{2}$
	$ b_{4}$	$=$	$3b_{3}$	$+$	$a_{3}$
		$\vdots$
$+)$	$b_{n+1}$	$=$	$3b_{n}$	$+$	$a_{n}$
	$b_{2}\text{～}b_{n+1}\text{の和}$	$=$	$3(b_{1}\text{～}b_{n}\text{の和})$	$+$	$a_{1}\text{～}a_{n}\text{の和}$

式Ｆ

ここで、$b_{1}=27$，$\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}b_{k}$なので、
式Ｆの左辺は
$$ \begin{align} b_{2}\text{～}b_{n+1}\text{の和}&=\sum_{k=1}^{n+1}b_{k}-b_{1}\\ &=S_{n+1}-27 \end{align} $$

式Ｆの右辺の
$$ \begin{align} b_{1}\text{～}b_{n}\text{の和}&=\sum_{k=1}^{n}b_{k}\\ &=S_{n} \end{align} $$ $\displaystyle a_{1}\text{～}a_{n}\text{の和}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}$
となる。

これを式Ｆに代入して、
$\displaystyle S_{n+1}-27=3S_{n}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}$
である。

解答キ：２, ク：７

この式に$S_{n+1}=S_{n}+b_{n+1}$を代入して、
$\displaystyle S_{n}+b_{n+1}-27=3S_{n}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}$
$\displaystyle 2S_{n}=-\sum_{k=1}^{n}a_{k}+b_{n+1}-27$式Ｇ

ここで、$a_{n}=54\cdot 3^{n-1}$なので、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}54\cdot 3^{k-1}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}&=54\sum_{k=1}^{n}3^{k-1}\\ &=54\cdot\dfrac{1-3^{n}}{1-3}\\ &=-27(1-3^{n}) \end{align} $$ より、

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=-3^{3}(1-3^{n})$

また、$b_{n}=3^{n+1}(2n+1)$なので、
$$ \begin{align} b_{n+1}&=3^{n+2}\{2(n+1)+1\}\\ &=3^{n+2}(2n+3) \end{align} $$

これを式Ｇに代入して、
$2S_{n}=-\{-3^{3}(1-3^{n})\}+3^{n+2}(2n+3)-3^{3}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{2S_{n}}&=3^{3}(1-3^{n})+3^{n+2}(2n+3)-3^{3}\\ &=3^{3}\{(1-3^{n})+3^{n-1}(2n+3)-1\}\\ &=3^{3}(1-3^{n}+3^{n-1}\cdot 2n+3^{n}-1)\\ &=3^{3}(3^{n-1}\cdot 2n)\\ &=3^{n+2}\cdot 2n \end{align} $$

$S_{n}=3^{n+2}\cdot n$式Ｈ
であるから、
$$ \begin{align} \dfrac{S_{10}}{3^{10}}&=\dfrac{3^{10+2}\cdot 10}{3^{10}}\\ &=3^{2}\cdot 10\\ &=90 \end{align} $$ である。

解答ケ：９, コ：０

$y_{n}=\dfrac{c_{n}}{3^{n}}$なので、②式を変形して$\dfrac{c_{n}}{3^{n}}$の形を作ろう。
②式の両辺を$3^{n+1}$で割ると、
$$ \begin{align} \dfrac{c_{n+1}}{3^{n+1}}&=\dfrac{3c_{n}}{3^{n+1}}+\dfrac{b_{n}}{3^{n+1}}\\ &=\dfrac{c_{n}}{3^{n}}+\dfrac{b_{n}}{3^{n+1}}\class{tex_formula}{式Ｉ} \end{align} $$

式Ｅより、$b_{n}=3^{n+1}(2n+1)$
$y_{n}=\dfrac{c_{n}}{3^{n}}$
なので、式Ｉは

$$ \begin{align} y_{n+1}&=y_{n}+\dfrac{3^{n+1}(2n+1)}{3^{n+1}}\\ &=y_{n}+2n+1 \end{align} $$ となる。

解答サ：２, シ：１

この式は、漸化式の基本の形の３つめなので、階差数列を使って解く。

復習

ここで、階差数列を使った一般項の求め方の復習をしておこう。

公式

$\{a_{n}\}$の階差数列が$\{b_{n}\}$のとき、$\{a_{n}\}$の一般項$a_{n}$は、
$\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \hspace{30px} (2\leqq n)$

だった。

$\{y_{n}\}$の階差数列の一般項が$2n+1$なので、$2\leqq n$のとき、一般項$y_{n}$は
$\displaystyle y_{n}=y_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$式Ｊ

$y_{1}$は、
$\left\{\begin{array}{l} c_{1}=3\\ y_{n}=\dfrac{c_{n}}{3^{n}} \end{array}\right.$
より、
$y_{1}=\dfrac{3}{3^{1}}=1$
であるから、式Ｊは
$\displaystyle y_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$
となる。

これを計算して、
$$ \begin{align} y_{n}&=1+2\sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}1\\ &=1+2\cdot\dfrac{1}{2}(n-1)n+(n-1)\\ &=1+n^{2}-n+n-1\\ &=n^{2} \end{align} $$ となる。
これは$n=1$のときも成り立つ。

これを$y_{n}=\dfrac{c_{n}}{3^{n}}$に代入して、
$\dfrac{c_{n}}{3^{n}}=n^{2}$
$c_{n}=3^{n}n^{2}$式Ｋ

なので、
$\dfrac{c_{10}}{3^{10}}=y_{10}=10^{2}=100$
である。

解答ス：１, セ：０, ソ：０

②式の$n$に$n=1$，$2$，$3$，$\cdots$と代入して、全部たすと、計算するまでもなく、キクを求めたときの結果から
$\displaystyle T_{n+1}-c_{1}=3T_{n}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}$式Ｌ
である。

ここで、
$\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}=S_{n}\\ c_{1}=3 \end{array}\right.$
なので、式Ｌは

$T_{n+1}-3=3T_{n}+S_{n}$
となる。

解答タ：３

この式に、さらに式Ｈの$S_{n}$の一般項を代入して、
$T_{n+1}-3=3T_{n}+3^{n+2}\cdot n$式Ｍ

ここで、キクケコと同じことをしよう。

$T_{n+1}=T_{n}+c_{n+1}$
なので、これを式Ｍに代入して、
$T_{n}+c_{n+1}-3=3T_{n}+3^{n+2}\cdot n$

これに式Ｋの$c_{n}$の一般項を代入して、

途中式

$T_{n}+3^{n+1}(n+1)^{2}-3=3T_{n}+3^{n+2}\cdot n$
$$ \begin{align} 2T_{n}&=3^{n+1}(n+1)^{2}-3-3^{n+2}\cdot n\\ &=3^{n+1}(n+1)^{2}-3-3^{n+1}\cdot 3n\\ &=3^{n+1}\{(n+1)^{2}-3n\}-3\\ &=3^{n+1}(n^{2}+2n+1-3n)-3\\ &=3^{n+1}(n^{2}-n+1)-3 \end{align} $$ $T_{n}=\dfrac{3^{n+1}(n^{2}-n+1)-3}{2}$
より、

$T_{n}=\dfrac{(n^{2}-n+1)3^{n+1}-3}{2}$
である。

解答チ：１, ツ：３, テ：３, ト：２