大学入試センター試験 2012年(平成24年) 追試 数学ⅡB 第3問 解説

はじめに

この問題では、漸化式のいろんなパターンを使う。
なので、最初にちょっと復習をしておこう。

復習

漸化式の基本の形は4つあって、
$a_{n+1}=a_{n}+d$
交差$d$の等差数列
$a_{n+1}=ra_{n}$
公比$r$の等比数列
$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$
階差数列の一般項が$f(n)$
$a_{n+1}=pa_{n}+q$
特性方程式を使って解く
だった。

ア~カ

$\{a_{n}\}$は公比が$3$の等比数列なので、初項を$a_{1}$として、
$a_{n}=a_{1}\cdot 3^{n-1}$
と書ける。
これに$n=2$,$a_{2}=162$を代入して、
$162=a_{1}\cdot 3^{2-1}$
$a_{1}=\displaystyle \frac{162}{3}$
$a_{1}$$=54$
となる。
よって、一般項$a_{n}$は、
$a_{n}=54\cdot 3^{n-1}$
である。

解答ア:5, イ:4, ウ:3


$b_{1}=\displaystyle \frac{a_{1}}{2}$
に$a_{1}=54$を代入して、
$b_{1}=\displaystyle \frac{54}{2}$
$b_{1}$$=27$式A

また、①式に$a_{n}$の一般項を代入して、
$b_{n+1}=3b_{n}+54\cdot 3^{n-1}$①'

ここで、
$x_{n}=\displaystyle \frac{b_{n}}{3^{n}}$式B
なので、
$b_{n}=3^{n}x_{n}$ $b_{n+1}=3^{n+1}x_{n+1}$

これを①'式に代入すると、
$3^{n+1}x_{n+1}=3\cdot 3^{n}x_{n}+54\cdot 3^{n-1}$
両辺を$3^{n+1}$で割って、
$x_{n+1}=x_{n}+\displaystyle \frac{54}{3^{2}}$
$x_{n+1}=x_{n}+6$式C
である。

解答エ:6


最初に復習したように、式Cは漸化式の基本の形の1つめなので、$\{x_{n}\}$は公差$6$の等差数列。
初項は、式Bに式Aを代入して、
$x_{1}=\displaystyle \frac{27}{3^{1}}$
$x_{1}$$=9$
より、$9$である。
よって、一般項$x_{n}$は、
$x_{n}=x_{1}+(n-1)d$
$x_{n}$$=9+(n-1)\cdot 6$
$x_{n}$$=6n+3$式D
となる。

式Bより$x_{n}=\displaystyle \frac{b_{n}}{3^{n}}$なので、
$\displaystyle \frac{b_{n}}{3^{n}}=6n+3$
$b_{n}=3^{n}(6n+3)$
$b_{n}$$=3^{n+1}(2n+1)$式E
である。

また、$\displaystyle \frac{b_{10}}{3^{10}}=x_{10}$は、式Dの$x_{n}$の一般項より、
$x_{10}=6\cdot 10+3$
$x_{10}$$=63$
である。

解答オ:6, カ:3

キ~コ

①式の$n$に$n=1$,$2$,$3$,$\cdots$と代入して、全部たしてみよう。
$++)$$ b_{2}=3b_{1}+a_{1}$
$++)$$ b_{3}=3b_{2}+a_{2}$
$++)$$ b_{4}=3b_{3}+a_{3}$
$++)$$\vdots$
$\underline{+)b_{n+1}=3b_{n}+a_{n}}$
$b_{2}$~$b_{n+1}$の和$=3(b_{1}$~$b_{n}$の和$)+a_{1}$~$a_{n}$の和式F

ここで、$b_{1}=27$,$S_{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}$なので、
式Fの左辺は
$b_{2}$~$b_{n+1}$の和$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n+1}b_{k}-b_{1}$
                  $=S_{n+1}-27$

式Fの右辺の
$b_{1}$~$b_{n}$の和$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}$
               $=S_{n}$
$a_{1}$~$a_{n}$の和$=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}$
となる。

これを式Fに代入して、
$S_{n+1}-27=3S_{n}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}$
である。

解答キ:2, ク:7


この式に$S_{n+1}=S_{n}+b_{n+1}$を代入して、
$S_{n}+b_{n+1}-27=3S_{n}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}$
$2S_{n}=-\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}+b_{n+1}-27$式G

ここで、$a_{n}=54\cdot 3^{n-1}$なので、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{n}54\cdot 3^{k-1}$
        $=54\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3^{k-1}$
        $=54\displaystyle \cdot\frac{1-3^{n}}{1-3}$
        $=-27(1-3^{n})$
        $=-3^{3}(1-3^{n})$
また、$b_{n}=3^{n+1}(2n+1)$なので、
$b_{n+1}=3^{n+2}\{2(n+1)+1\}$
$b_{n+1}$$=3^{n+2}(2n+3)$

これを式Gに代入して、
$2S_{n}=-\{-3^{3}(1-3^{n})\}+3^{n+2}(2n+3)-3^{3}$
途中式 $2S_{n}$$=3^{3}(1-3^{n})+3^{n+2}(2n+3)-3^{3}$
$2S_{n}$$=3^{3}\{(1-3^{n})+3^{n-1}(2n+3)-1\}$
$2S_{n}$$=3^{3}(1-3^{n}+3^{n-1}\cdot 2n+3^{n}-1)$
$2S_{n}$$=3^{3}(3^{n-1}\cdot 2n)$
$2S_{n}$$=3^{n+2}\cdot 2n$
$S_{n}=3^{n+2}\cdot n$式H
であるから、
$\displaystyle \frac{S_{10}}{3^{10}}=\frac{3^{10+2}\cdot 10}{3^{10}}$
      $=3^{2}\cdot 10$
      $=90$
である。

解答ケ:9, コ:0

サ~ソ

$y_{n}=\displaystyle \frac{c_{n}}{3^{n}}$なので、②式を変形して$\displaystyle \frac{c_{n}}{3^{n}}$の形を作ろう。
②式の両辺を$3^{n+1}$で割ると、
$\displaystyle \frac{c_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{3c_{n}}{3^{n+1}}+\frac{b_{n}}{3^{n+1}}$
$\displaystyle \frac{c_{n+1}}{3^{n+1}}=\frac{c_{n}}{3^{n}}+\frac{b_{n}}{3^{n+1}}$式I

式Eより、$b_{n}=3^{n+1}(2n+1)$ $y_{n}=\displaystyle \frac{c_{n}}{3^{n}}$ なので、式Iは
$y_{n+1}=y_{n}+\displaystyle \frac{3^{n+1}(2n+1)}{3^{n+1}}$
$y_{n+1}$$=y_{n}+2n+1$
となる。

解答サ:2, シ:1


この式は、漸化式の基本の形の3つめなので、階差数列を使って解く。

復習

ここで、階差数列を使った一般項の求め方の復習をしておこう。

公式

$\{a_{n}\}$の階差数列が$\{b_{n}\}$のとき、$\{a_{n}\}$の一般項$a_{n}$は、
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$     $(2\leqq n)$

だった。

$\{y_{n}\}$の階差数列の一般項が$2n+1$なので、$2\leqq n$のとき、一般項$y_{n}$は
$y_{n}=y_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$式J
$y_{1}$は、
$c_{1}=3$ $y_{n}=\displaystyle \frac{c_{n}}{3^{n}}$ より、
$y_{1}=\displaystyle \frac{3}{3^{1}}=1$
であるから、式Jは
$y_{n}=1+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(2k+1)$
となる。

これを計算して、
$y_{n}=1+2\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k+\sum_{k=1}^{n-1}1$
$y_{n}\displaystyle $$\displaystyle =1+2\cdot\frac{1}{2}(n-1)n+(n-1)$
$y_{n}$$=1+n^{2}-n+n-1$
$y_{n}$$=n^{2}$
となる。
これは$n=1$のときも成り立つ。


これを$y_{n}=\displaystyle \frac{c_{n}}{3^{n}}$に代入して、
$\displaystyle \frac{c_{n}}{3^{n}}=n^{2}$
$c_{n}=3^{n}n^{2}$式K
なので、
$\displaystyle \frac{c_{10}}{3^{10}}=y_{10}=10^{2}=100$
である。

解答ス:1, セ:0, ソ:0

タ~ト

アドバイス

この部分、
$\{c_{n}\}$を$\{y_{n}\}$に置き換え、$y_{n}$から$c_{n}$を求め、$\displaystyle \frac{c_{10}}{3^{10}}$を計算する流れは、サシスセソでやった$\{b_{n}\}$を$\{x_{n}\}$に置き換え、$x_{n}$から$c_{n}$を求め、$\displaystyle \frac{b_{10}}{3^{10}}$を計算したのと全く同じだ。
なので、タ以降を求めるのも、キクケコと同じような方法をじゃないかと予想できる。


②式の$n$に$n=1$,$2$,$3$,$\cdots$と代入して、全部たすと、計算するまでもなく、キクを求めたときの結果から
$T_{n+1}-c_{1}=3T_{n}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}$式L
である。
ここで、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}b_{k}=S_{n}$ $c_{1}=3$ なので、式Lは
$T_{n+1}-3=3T_{n}+S_{n}$
となる。

解答タ:3


この式に、さらに式Hの$S_{n}$の一般項を代入して、
$T_{n+1}-3=3T_{n}+3^{n+2}\cdot n$式M

ここで、キク~ケコと同じことをしよう。

$T_{n+1}=T_{n}+c_{n+1}$
なので、これを式Mに代入して、
$T_{n}+c_{n+1}-3=3T_{n}+3^{n+2}\cdot n$

これに式Kの$c_{n}$の一般項を代入して、
$T_{n}+3^{n+1}(n+1)^{2}-3=3T_{n}+3^{n+2}\cdot n$
途中式 $2T_{n}=3^{n+1}(n+1)^{2}-3-3^{n+2}\cdot n$
$2T_{n}$$=3^{n+1}(n+1)^{2}-3-3^{n+1}\cdot 3n$
$2T_{n}$$=3^{n+1}\{(n+1)^{2}-3n\}-3$
$2T_{n}$$=3^{n+1}(n^{2}+2n+1-3n)-3$
$2T_{n}$$=3^{n+1}(n^{2}-n+1)-3$
$T_{n}=\displaystyle \frac{3^{n+1}(n^{2}-n+1)-3}{2}$
$T_{n}=\displaystyle \frac{(n^{2}-n+1)3^{n+1}-3}{2}$
である。

解答チ:1, ツ:3, テ:3, ト:2