この問題では、 解法１
表を書いて解く。おすすめだけど、あまり一般的ではないかも。 解法２
計算で解く。一般的な解法だけど、ちょっと面倒。 の２通りの解法が考えられる。
流れが全然違うので、別に解説する。ただし、(3)についてはどちらの解法でも共通の解き方になるので、ページの最後で解説した。

表Ａより、マスの数は、数Ｂの範囲だけど等差数列の和の公式を使って、
$14+13+12+\cdots+3+2+1$
$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 14(14+1)$
$=7\cdot 15$
$=105$
より、105通り。

解答ア：１, イ：０, ウ：５

カードに書かれている文字が同じなのは、表Ａの青い部分。
なので、場合の数は
$3\times 5=15$
より、15通り。

解答エ：１, オ：５

カードに書かれている文字が異なるのは、表Ａのオレンジの部分。
アイウより、全部のマスは105個。 エオより、青いマスは15個。 よって、文字が異なる場合の数は
$105-15=90$
より、90通り。

解答カ：９, キ：０

得点が６点になる確率は、表Ｂより
６点のマスは、オレンジのブロックあたり１個。 オレンジのブロックは10個。 アイウより、マスは全部で105個。 なので、
$\displaystyle \frac{1\cdot 10}{105}=\frac{2}{21}$
である。

解答ク：２, ケ：２, コ：１

得点が５点になる確率は、表Ｂより
５点のマスは、オレンジのブロックあたり２個。 オレンジのブロックは10個。 アイウより、マスは全部で105個。 なので、
$\displaystyle \frac{2\cdot 10}{105}=\frac{4}{21}$
である。

解答サ：４, シ：２, ス：１

得点が４点になる確率は、表Ｂより
４点のマスは、オレンジのブロックあたり３個。 オレンジのブロックは10個。 アイウより、マスは全部で105個。 なので、
$\displaystyle \frac{3\cdot 10}{105}=\frac{6}{21}$式Ａ
$\displaystyle \frac{3\cdot 10}{105}$$\displaystyle =\frac{2}{7}$
である。

解答セ：２, ソ：７

得点が３点になる確率は、表Ｂより オレンジのブロックに ブロックあたり２個。 ブロックは10個。 青いブロックに ブロックあたり２個。 ブロックは５個。 アイウより、マスは全部で105個。 なので、
$\displaystyle \frac{2\cdot 10+2\cdot 5}{105}=\frac{2\cdot 2+2}{21}$
$\displaystyle \frac{2\cdot 10+2\cdot 5}{105}$$\displaystyle =\frac{2\cdot 3}{21}$式Ｂ
$\displaystyle \frac{2\cdot 10+2\cdot 5}{105}$$\displaystyle =\frac{2}{7}$
である。

解答タ：２, チ：７

得点が２点になる確率は、表Ｂより オレンジのブロックに ブロックあたり１個。 ブロックは10個。 青いブロックに ブロックあたり１個。 ブロックは５個。 アイウより、マスは全部で105個。 なので、
$\displaystyle \frac{1\cdot 10+1\cdot 5}{105}=\frac{2+1}{21}$
$\displaystyle \frac{2\cdot 10+2\cdot 5}{105}$$\displaystyle =\frac{3}{21}$
$\displaystyle \frac{2\cdot 10+2\cdot 5}{105}$$\displaystyle =\frac{1}{7}$
である。

解答ツ：１, テ：７

15枚のカードから２枚取り出すので、
${}_{15}\mathrm{C}_{2}=\displaystyle \frac{15\cdot 14}{2\cdot 1}$
${}_{15}\mathrm{C}_{2}$$=15\cdot 7=105$式Ｃ
より、105通り。

解答ア：１, イ：０, ウ：５

カードに書かれている文字が同じ場合、

文字が同じになるのは、A-A，B-B，C-C，D-D，E-Eの５パターン。

A-Aが出るのは、A1，A2，A3の３枚のカードから２枚出ればよいので、${}_{3}\mathrm{C}_{2}$通り。

同様に、B-BもC-CもD-DもE-Eも${}_{3}\mathrm{C}_{2}$通りなので、文字が同じになる場合の数は
${}_{3}\mathrm{C}_{2}\times 5={}_{3}\mathrm{C}_{1}\times 5$
${}_{3}\mathrm{C}_{2}\times 5$$=15$
となり、15通り。

解答エ：１, オ：５

「カードに書かれている文字が異なる場合」の余事象は、「文字が同じ場合」。
なので、全体から文字が同じ場合を引き算しよう。
アイウより、すべての場合の数は105通り。 エオより、文字が同じ場合は15通り。 よって、文字が異なる場合の数は
$105-15=90$
より、90通り。

解答カ：９, キ：０

得点が６点になるのは、
２枚のカードの文字が異なる 数字がともに３である 場合のみ。

カードの文字の選び方は、５つの文字から２つ選べばよいので、${}_{5}\mathrm{C}_{2}$通り。 数字の選び方は、3-3の１通り。 すべての場合の数は、式Ｃより$15\cdot 7$通り。

以上より、得点が６点になる確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}\times 1}{15\cdot 7}=\frac{\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}}{15\cdot 7}$式Ｄ
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}\times 1}{15\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{5\cdot 2}{15\cdot 7}$
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}\times 1}{15\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{2}{3\cdot 7}$
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}\times 1}{15\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{2}{21}$
である。

解答ク：２, ケ：２, コ：１

得点が４点になるのは、
２枚のカードの文字が異なる 数字が3-1または2-2または1-3である 場合のみ。

カードの文字の選び方は、５つの文字から２つ選べばよいので、${}_{5}\mathrm{C}_{2}$通り。 数字の選び方は３通り。 すべての場合の数は、式Ｃより$15\cdot 7$通り。

以上より、得点が４点になる確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}\times 3}{15\cdot 7}$
これは式Ｄの３倍なので、
$=\displaystyle \frac{2}{3\cdot 7}\times 3$式Ｅ
$=\displaystyle \frac{2}{7}$
である。

解答セ：２, ソ：７

得点が３点になるのは、
パターン１ ２枚のカードの文字が異なる 数字が2-1または1-2である パターン２ ２枚のカードの文字が同じ 大きい方の数字が３ の２パターンある。

パターン１のとき、
カードの文字の選び方は、５つの文字から２つ選べばよいので、${}_{5}\mathrm{C}_{2}$通り。 数字の選び方は２通り。 すべての場合の数は、式Ｃより$15\cdot 7$通り。 以上より、パターン１の確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{2}\times 2}{15\cdot 7}$
これは式Ｄの２倍なので、
$=\displaystyle \frac{4}{3\cdot 7}$Ａ
である。

パターン２のとき、
カードの文字の選び方は、５つの文字から１つ選ぶので、${}_{5}\mathrm{C}_{1}$通り。 数字の選び方は3-1と3-2の２通り。 すべての場合の数は、式Ｃより$15\cdot 7$通り。 以上より、パターン２の確率は、
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{1}\times 2}{15\cdot 7}=\frac{5\cdot 2}{15\cdot 7}$式Ｆ
$\displaystyle \frac{{}_{5}\mathrm{C}_{1}\times 2}{15\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{2}{3\cdot 7}$Ｂ
である。

以上より、得点が３点になる確率は、ＡとＢをたして、
$\displaystyle \frac{4}{3\cdot 7}+\frac{2}{3\cdot 7}=\frac{6}{3\cdot 7}$式Ｇ
$\displaystyle \frac{4}{3\cdot 7}+\frac{2}{3\cdot 7}$$\displaystyle =\frac{2}{7}$
である。

解答タ：２, チ：７

得点は２，３，４，５，６のいずれかにしかならない。

クケコより、６点である確率は$\displaystyle \frac{2}{21}$ サシスより、５点である確率は$\displaystyle \frac{4}{21}$ 式Ｅより、４点である確率は$\displaystyle \frac{6}{21}$ 式Ｇより、３点である確率は$\displaystyle \frac{6}{21}$

以上より、得点が２点になる確率は、
$1-\displaystyle \frac{2+4+6+6}{21}$
$=\displaystyle \frac{21-18}{21}$
$=\displaystyle \frac{3}{21}$
$=\displaystyle \frac{1}{7}$
である。

解答ツ：１, テ：７

これまでの結果から確率分布表をかくと、

となる。

表Ｃより、求める期待値は
$2\displaystyle \times\frac{3}{3\cdot 7}+3\times\frac{6}{3\cdot 7}+4\times\frac{6}{3\cdot 7}$
            $+5\times\frac{4}{3\cdot 7}+6\times\frac{2}{3\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{2\cdot 3+3\cdot 6+4\cdot 6+5\cdot 4+6\cdot 2}{3\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{6+18+24+20+12}{3\cdot 7}$
$=\displaystyle \frac{80}{3\cdot 7}$
ありゃ。約分できない。
なので、期待値は
$\displaystyle \frac{80}{21}$
である。

解答ト：８, ナ：０, ニ：２, ヌ：１