まず、中央値のついての復習から。

だった。

中央値Aは10個のデータの中央値なので、大きい方から（小さい方からでもいいけど）10番目と11番目の値の平均値を出せばよい。
でも、10個の数字を並べるのは手間がかかるので、問題中の表に印をつけよう。
表Ａで、
１. まず、最小値の１と最大値の５をセットでチェックマークする。（☑） ２. 残った１と、マークのついてない数字のうち最大の４をセットでマークする。（☑） ３. マークのついてない数字のうち最小の２と、残った４をセットでマークする。（☑） のような作業を、数字が２つになるまで続ける。
残った数字が中央の２値だ。

表Ａより、3と4が残ったので、中央値Aは、
$\displaystyle \mathrm{A}=\frac{3+4}{2}$
$\mathrm{A}$$=3.5$
である。

解答ア：３, イ：５

次は、平均値B。
10個くらいの数字なので普通に平均値を求めた方が早いような気もするけど、復習のために、ここでは3を仮平均として計算する。

2と-2，1と-1をセットで消すと、表Ｂの赤い数字は全部消えて、$-2$だけが残る。
なので、平均値Bは、
$\displaystyle \mathrm{B}=3+\frac{-2}{10}$
$\mathrm{B}$$=2.8$
である。

解答ウ：２, エ：８

それから、分散Cだけど、計算に入る前に分散の復習をしておこう。

式Ａで計算すると、教科２は平均値が$3.7$なので$($値-平均値$)$は全部小数になる。これを２乗するのは面倒だから、式Ｂを使おう。

表Ｃで、16と9はたして25なので、25が5個、あとは9と4と9をたして10で割れば、2乗の平均値$\overline{x^{2}}$だ。
$\displaystyle \overline{x^{2}}=\frac{1}{10}(25\times 5+9+4+9)$
$\displaystyle \overline{x^{2}}=\frac{147}{10}$
$\overline{x^{2}}=14.7$

問題中の表より平均値$\overline{x}$は$3.7$なので、式Ｂを使って、
分散$s^{2}=\overline{x^{2}}-(\overline{x})^{2}$
分散$s^{2}$$=14.7-3.7^{2}$
分散$s^{2}$$=14.7-13.69$
分散$s^{2}$$=1.01$
である。

解答オ：１, カ：０, キ：１

クケは地味に数えるしかない。

Dは教科１の順位が教科３の順位よりも高い生徒の数なので、表Ｄの赤文字の部分。
なので、５人である。

解答ク：５

Eは教科２の順位が教科４の順位よりも高い生徒の数なので、表Ｅの赤文字の部分。
なので、２人である。

解答ケ：２

次の$w_{1}$と$w_{2}$の関係式だけど、⓪～③のどれかだっていうことが分かってるので、考えるよりも手を動かした方が早い。
ケより、教科２の順位が教科４の順位よりも高い生徒の数は、２人。
これが$w_{1}$だ。
一方、$w_{2}$は教科４の順位が教科２の順位よりも高い生徒の数で、表Ｅの青文字の部分なので８人。
このことから、正しいのは
$w_{1}+w_{2}=10$の②
だと考えられる。

解答コ：２

$u=$教科$j$の中央値-教科$k$の中央値
$v=$教科$j$の平均値-教科$k$の平均値
とするとき、
$j=2$，$k=3$のときの$u$，$v$を求よという。

$u=$教科２の中央値-教科３の中央値
なので、
$u=3.5-2.0$
$u$$=1.5$
である。

解答サ：１, シ：５

また、
$v=$教科２の平均値-教科３の平均値
なので、
$v=3.7-3.0$
$v$$=0.7$
である。

解答ス：０, セ：７

次は、$u$と$w$の相関図だ。
$20$個の$u$と$w$を求めるわけにはいかないので、特徴的な点だけ求めよう。
以下、説明のために
教科$j$の順位が教科$k$の順位よりも高い生徒の数を$w_{jk}$ 教科$j$の中央値-教科$k$の中央値を$u_{jk}$ 教科$j$の平均値-教科$k$の平均値を$v_{jk}$ とする。

⓪～⑤の相関図を見ると、$w=2$の点は１個または２個しかない。
なので、この場合を考える。

ケより、$w$が$2$になるのは、$w_{24}$のとき。
コより、$w_{jk}+w_{kj}=10$なので、
$w_{42}=8$
である。
⓪～⑤の相関図のうち、①③は$w=8$の点がないから、誤り。
なので、$w=2$の点は、$w_{24}$のときだけを考えればよい。

ということで、$u_{24}$と$v_{24}$を求めよう。
問題文中の表より
中央値は、
教科２は$3.5$ 教科４は$3.0$ なので、
$u_{24}=3.5-3.0$
$u_{24}$$=0.5$
平均値は
教科２は$3.7$ 教科４は$2.6$ なので、
$v_{24}=3.7-2.6$
$v_{24}$$=1.1$
である。

よって、
$u$と$w$の相関図は、$w=2$のとき$u=0.5$である④ $v$と$w$の相関図は、$w=2$のとき$v=1.1$である②

解答ソ：４, タ：２

$u$と$w$の相関図の④と、$v$と$w$の相関図の②を見比べると、ともに負の相関だけど、②の方が負の相関が強い。
なので、
$v$と$w$の相関係数$ \lt u$と$w$の相関係数$ \lt 0$
より
$r_{2} \lt r_{1} \lt 0$
である。

解答チ：５

すべての生徒はそれぞれの教科に１～５の順位をつけるので、一人の生徒がつけた順位の平均値は、
$\displaystyle \frac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3$
である。

解答ツ：３

また、分散は
$\displaystyle \frac{1}{5}\{(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}\}$
$=\displaystyle \frac{1}{5}(4+1+1+4)$
$=2$
である。

解答テ：２

ツより$\overline{x}=\overline{y}=3$なので、トナの式の左辺の$\overline{x}$，$\overline{y}$に$3$を代入して変形すると、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}(x_{k}-3)(y_{k}-3)$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}\{x_{k}y_{k}-3(x_{k}+y_{k})+9\}$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}-3\left(\sum_{k=1}^{5}x_{k}+\sum_{k=1}^{5}y_{k}\right)+\sum_{k=1}^{5}9$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}-3\left(\sum_{k=1}^{5}x_{k}+\sum_{k=1}^{5}y_{k}\right)+45$式F
ここで、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}x_{k}=\sum_{k=1}^{5}y_{k}=1+2+3+4+5=15$
なので、式Fは
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}-3\left(15+15\right)+45$
$=\displaystyle \sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}-45$
となる。

解答ト：４, ナ：５

トナの式は$(x-\overline{x})(y-\overline{y})$の合計なので、これをデータの大きさ（教科数）の$5$で割ると共分散だ。
なので、共分散を$s_{xy}$とすると、
$s_{xy}=\displaystyle \frac{1}{5}\left(\sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}-45\right)$式G
である。

テより、$x$も$y$も分散は$2$なので、標準偏差もともには$\sqrt{2}$である。
なので、$x$と$y$の相関係数$r$は、
$r=\displaystyle \frac{s_{xy}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$
式Gより、$s_{xy}=\displaystyle \frac{1}{5}\left(\sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}-45\right)$なので、
$r=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}^{2}}\cdot\frac{1}{5}\left(\sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}-45\right)$
$r\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{10}\left(\sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}-45\right)$式H
である。

解答ニ：１, ヌ：０

$m=3$，$n=6$のとき、$r$は生徒３と生徒６の相関係数である。
このとき、
$\displaystyle \sum_{k=1}^{5}x_{k}y_{k}=1\cdot 4+3\cdot 3+5\cdot 2+4\cdot 5+2\cdot 1$
            $=45$
これを式Hに代入して、
$r=\displaystyle \frac{1}{10}(45-45)=0$
となる。

解答ネ：０, ノ：０

相関係数が０なので、生徒３と生徒６の順位のつけ方に相関は認められない。
よって、当てはまるのは②である。

解答：ハ：２