アドバイス

確率の問題では、「少なくとも」の表現があれば余事象から考えるのが鉄則なんだけど、論理と命題の単元でも同じことが言える。論理と命題では「余事象」とは言わずに「否定」って言うけど、考え方は同じだ。

先に$p$でした作業を、$q$でもやってみよう。
$q$は、
$q\ :\ m+n$は３の倍数でない $\cup\ m-n$は３の倍数でない
と書きなおせる。
なので、$\overline{q}$は、
$\overline{q}\ :\ \overline{m+n\text{は３の倍数でない }\cup\ m-n\text{は３の倍数でない}}$
と書ける。

これは、ド・モルガンの法則より、
$\overline{q}\ :\ \overline{m+n\text{は３の倍数でない}}\ \cap\ \overline{n-n\text{は３の倍数でない}}$
$\overline{q}\ :\ m+n$は３の倍数である $\cap\ n-n$は３の倍数である
となる。

これは、$k,l$を整数として、
$\left\{\begin{array}{l}
m+n=3k\\
m-n=3l
\end{array}\right.$式Ａ
と書ける。

式Ａを辺々たすと、
$+)$$ m+n=3k$
$\underline{+)m-n=3l}$
  $2m$       $=3(k+l)$
ここで、$2$と$3$は互いに素なので、$m$は$3$の倍数である。

式Ａを辺々引くと、
$-)$$ m+n=3k$
$\underline{-)m-n=3l}$
         $2n=3(k-l)$

ここで、$2$と$3$は互いに素なので、$n$は$3$の倍数である。
よって、$m$，$n$ともに３の倍数であることが分かる。

以上より、
$\overline{p}=\overline{q}$
なので、
$p=q$
である。
なので、$p$は$q$であるための必要十分条件である。

解答ケ：６

(1)と同様に考えよう。
$\overline{s}\ :\ m+n$は４の倍数である $\cap\ n-n$は４の倍数である
より、$k,l$を整数として、
$\left\{\begin{array}{l}
m+n=4k\\
m-n=4l
\end{array}\right.$式Ｂ
と書ける。

式Ｂを辺々たして、
$+)$$ m+n=4k$
$\underline{+)m-n=4l}$
  $2m$       $=4(k+l)$
    $m=2(k+l)$

式Ａを辺々引いて、
$-)$$ m+n=4k$
$\underline{-)m-n=4l}$
         $2n=4(k-l)$
           $n=2(k-l)$

である。

以上より、$m$，$n$ともに偶数である。

解答コ：４

(1)と同様に考えて、
$\overline{r}\ :\ m$は４の倍数である $\cap\ n$は４の倍数である
となる。
これは表Ａの青い部分なので、$r$は表Ａの赤い部分。

表Ａ

			$m$
			奇数	偶数
					４の 倍数
$n$	奇数
	偶 数
		４の 倍数

また、コより、$\overline{s}$は表Ｂの青い部分なので、$s$は表Ｂの赤い部分。

表Ｂ

			$m$
			奇数	偶数
					４の 倍数
$n$	奇数
	偶 数
		４の 倍数

表Ａと表Ｂより、条件$r$の集合は条件$s$の集合を含んでいる。
なので、必要条件である。

解答サ：７

アドバイス

こういう問題は、一般的には
$r\Rightarrow s$ ×
$r\Leftarrow s$ ○
なので、必要条件
って解くことが多いけど、○×の判定で混乱したり間違えたりすることが多い。なので、図やグラフで表せるときは、集合の大小で考える方がおすすめ。

例えば右図では、大きい集合の$p$が小さい集合の$q$を含んでいる。
このような場合、$p$は$q$であるための必要条件になる。
逆に、$q$は$p$であるための十分条件である。
「大きい集合は小さい集合の必要条件」。呪文のように憶えておこう。

詳しくはこのページ参照。