大学入試センター試験 2015年(平成27年) 本試 数学ⅠA 第1問 解説

ア,イ

75
2次関数のグラフ(平方完成)

まず、頂点の座標を求める。
①を平方完成して、
$y=-x^{2}+2x+2$
$y$$=-(x-1)^{2}+3$
より、頂点の座標は$(1,\ 3)$である。

解答ア:1, イ:3

頂点が分かったところで、ちょっと整理しておこう。

71
グラフの移動

$y=f(x)$について、
①を$x$方向に$p$、$y$方向に$q$平行移動したものなので、
$y-q=-(x-p)^{2}+2(x-p)+2$ 式A
頂点の座標は$(p+1,\ q+3)$ 式B
71
2次関数のグラフ

式Bより、
$y=-\{x-(p+1)\}^{2}+(q+3)$式C
であることが分かる。このうち、使いやすいものを使って以下の問題を解く。

(1)

88
文字係数の2次関数の最大・最小

ウ~カは $2\leqq x\leqq 4$ における$f(x)$の最大・最小の問題。
式Bより グラフの軸は$x=p+1$ なので、頂点が移動するタイプの2次関数の最大最小の問題であるから、グラフは5種類考えられる。

図A
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅠA第1問 解説図A
図B
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅠA第1問 解説図B
図C
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅠA第1問 解説図C
図D
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅠA第1問 解説図D
図E
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅠA第1問 解説図E
図F
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅠA第1問 解説図F

このうち、$f(2)$が最大になるのは図Aの場合だけなので、軸は定義域より左にある。
また、軸がちょうど定義域の左端と重なるとき(図Fのとき)も、最大値は$f(2)$になる。

以上より、軸が定義域の左端も含んでそれより左になればいいから、
$p+1\leqq 2$
より
$p\leqq 1$ である。

解答ウ:3, エ:1

$f(2)$が最小値になるのは、上の5種類のグラフのうち図C・D・Eのとき。
Cのときは、$f(2)$と$f(4)$の両方が最小値になるが、問題文に「最小値が$f(2)$のみになる」とは書いてないので、これもOK。

よって、
$3\leqq p+1$
より
$p\geqq 2$ である。

解答オ:2, カ:2

(2)

図G
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅠA第1問 解説図G

126
2次不等式の解から係数決定

不等式 $f(x) \gt 0$ の解が $-2 \lt x \lt 3$ であるから、$y=f(x)$ のグラフは図Gのようになる。

このことから、$y=f(x)$ は、
点 $(-2,\ 0),\ (3,\ 0)$ を通る $y=f(x)=-(x+2)(x-3)$式D
とかける
軸(頂点の$x$座標)が$-2$と$3$の真ん中、$\displaystyle \frac{-2+3}{2}\ =\ \frac{1}{2}$式E
である
ことが分かる。

ここからは何通りか解法が考えられる。
解法1
式D・Eから求めた頂点が 式Bと等しいことから、$p,\ q$ の値を導く。
解法2
式Dから求めた頂点が 式Bと等しいことから、$p,\ q$ の値を導く。
解法3
式Cに $(-2,\ 0),\ (3,\ 0)$ を代入して$p,\ q$ の式を2つ作り、連立方程式を解く。

解法1

式Dの $x$ に $\displaystyle \frac{1}{2}$ を代入して、
$y=-\displaystyle \left(\frac{1}{2}+2\right)\left(\frac{1}{2}-3\right)=\frac{25}{4}$
よって、$y=f(x)$ の頂点の座標は $\left(\frac{1}{2},\ \frac{25}{4}\right)$。

これが式Bと等しくなるので、
$(p+1,\ q+3)=\left(\frac{1}{2},\ \frac{25}{4}\right)$
$(p,\ q)=\left(-\frac{1}{2},\ \frac{13}{4}\right)$
である。

解答キ:-, ク:1, ケ:2, コ:1, サ:3, シ:4

解法2

式Dより、
$y=-(x+2)(x-3)$
$y$$=-(x^{2}-x-6)$
$y\displaystyle $$\displaystyle =-\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{25}{4}$
よって、$y=f(x)$ の頂点の座標は $\left(\frac{1}{2},\ \frac{25}{4}\right)$。

これが式Bと等しくなるので、
$(p+1,\ q+3)=\left(\frac{1}{2},\ \frac{25}{4}\right)$
$(p,\ q)=\left(-\frac{1}{2},\ \frac{13}{4}\right)$
である。

解答キ:-, ク:1, ケ:2, コ:1, サ:3, シ:4

解法3

95-96
2次関数の決定

式Cより、

グラフが$(-2,\ 0)$ を通るので、
$0=-\{-2-(p+1)\}^{2}+(q+3)$
$0$$=-(-p-3)^{2}+q+3$
$q=(-p-3)^{2}-3$式F

グラフが$(3,\ 0)$ を通るので、
$0=-\{3-(p+1)\}^{2}+(q+3)$
$0$$=-(-p+2)^{2}+q+3$
$q=(-p+2)^{2}-3$式G

式F=式Gより、
$(-p-3)^{2}-3=(-p+2)^{2}-3$
途中式 $(-p-3)^{2}=(-p+2)^{2}$
$(-p-3)^{2}-(-p+2)^{2}=0$
左辺は$A^{2}-B^{2}$の形なので、
$\{(-p-3)+(-p+2)\}\times$
       $\{(-p-3)-(-p+2)\}=0$
$(-2p-1)(-5)=0$
$p=-\displaystyle \frac{1}{2}$

これを式Fに代入して、
$q=\left(\frac{1}{2}-3\right)^{2}-3$
$q\displaystyle $$\displaystyle =\frac{13}{4}$
である。

解答キ:-, ク:1, ケ:2, コ:1, サ:3, シ:4