まず、頂点の座標を求める。
①を平方完成して、
$y=-x^{2}+2x+2$
$y$$=-(x-1)^{2}+3$
より、頂点の座標は$(1,\ 3)$である。

解答ア：１, イ：３

頂点が分かったところで、ちょっと整理しておこう。

$y=f(x)$について、
①を$x$方向に$p$、$y$方向に$q$平行移動したものなので、
$y-q=-(x-p)^{2}+2(x-p)+2$ 式Ａ
頂点の座標は$(p+1,\ q+3)$ 式Ｂ
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２次関数のグラフ

式Ｂより、
$y=-\{x-(p+1)\}^{2}+(q+3)$式Ｃ
であることが分かる。このうち、使いやすいものを使って以下の問題を解く。

ウ～カは $2\leqq x\leqq 4$ における$f(x)$の最大・最小の問題。
式Bより グラフの軸は$x=p+1$ なので、頂点が移動するタイプの２次関数の最大最小の問題であるから、グラフは５種類考えられる。

このうち、$f(2)$が最大になるのは図Ａの場合だけなので、軸は定義域より左にある。
また、軸がちょうど定義域の左端と重なるとき（図Ｆのとき）も、最大値は$f(2)$になる。

以上より、軸が定義域の左端も含んでそれより左になればいいから、
$p+1\leqq 2$
より
$p\leqq 1$ である。

解答ウ：３, エ：１

$f(2)$が最小値になるのは、上の５種類のグラフのうち図Ｃ・Ｄ・Ｅのとき。
Ｃのときは、$f(2)$と$f(4)$の両方が最小値になるが、問題文に「最小値が$f(2)$のみになる」とは書いてないので、これもOK。

よって、
$3\leqq p+1$
より
$p\geqq 2$ である。

解答オ：２, カ：２

不等式 $f(x) \gt 0$ の解が $-2 \lt x \lt 3$ であるから、$y=f(x)$ のグラフは図Ｇのようになる。

このことから、$y=f(x)$ は、
点 $(-2,\ 0),\ (3,\ 0)$ を通る $y=f(x)=-(x+2)(x-3)$式Ｄ
とかける 軸（頂点の$x$座標）が$-2$と$3$の真ん中、$\displaystyle \frac{-2+3}{2}\ =\ \frac{1}{2}$式Ｅ
である ことが分かる。

ここからは何通りか解法が考えられる。
解法１
式Ｄ・Ｅから求めた頂点が 式Ｂと等しいことから、$p,\ q$ の値を導く。 解法２
式Ｄから求めた頂点が 式Ｂと等しいことから、$p,\ q$ の値を導く。 解法３
式Ｃに $(-2,\ 0),\ (3,\ 0)$ を代入して$p,\ q$ の式を２つ作り、連立方程式を解く。