初めのうちは、単に計算をするだけの問題が続く。

160
余弦定理

図Ａで、余弦定理より、
$\mathrm{AC}^{2}=3^{2}+5^{2}-2\cdot 3\cdot 5\cos 120^{\circ}$
$\mathrm{AC}^{2}$$=3^{2}+5^{2}-2\cdot 3\cdot 5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$
$\mathrm{AC}^{2}$$=49$
$0 \lt \mathrm{AC}$より
$\mathrm{AC}=7$

解答オ：７

149
三角比の拡張

$\sin\angle \mathrm{ABC}=\sin 120$°$=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

解答カ：３, キ：２

160
正弦定理

正弦定理より、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{B}}{\sin\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}$
なので、
$\displaystyle \frac{3}{\sin\angle \mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{A}}=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BCA}=\frac{3\sqrt{3}}{14}$

解答ク：３, ケ：３, コ：１, サ：４

図Ｂで、点Ｐが線分ＢＤ上を動くとき、△$\mathrm{APC}$の外接円（青い円）の半径の範囲を求める問題である。
まず外接円の半径$R$を求めよう。

正弦定理より、
$2R=\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{P}}{\sin \mathrm{C}}$
$R=\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{P}}{2\sin \mathrm{C}}$式Ａ
なので、$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{P}}{2\sin \mathrm{C}}$の最大値・最小値を求めればよい。

$\mathrm{AP}$の値は変わるけど、図Ｂから、最大値は$3\sqrt{3}$なのは明らか。
なので、$R$の最大値$R_{max}$は、式Ａより
$R_{max}=\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2\sin \mathrm{C}}$

28
繁分数式の計算

分数の割り算は、逆数のかけ算なので、
$R_{max}=\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{14}{3\sqrt{3}}$
$R_{max}$$=7$

解答セ：７

説明の都合上最大値を先に求めた。
次は最小値だ。
APが最小になるときのPをP'とすると、図Ｃのように、P'は点AからCDにおろした垂線の足である。

ここから解法はいくつか考えられるけど、そのうちの次のふたつを解説する。 解法１おすすめ
△$\mathrm{APC}$において、$\displaystyle \sin\angle \mathrm{C}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{P}'}{\mathrm{A}\mathrm{C}}$であることを利用する。 解法２
△$\mathrm{ABP}$が$\angle \mathrm{B}=60$°の直角三角形であることを利用する。