大学入試センター試験 2015年(平成27年) 本試 数学ⅡB 第3問 解説

(1)

エまでは実際に$2^{n}$の計算をやってみて求めよう。
$2^{1}=2$より、$a_{1}=2$
$2^{2}=4$より、$a_{2}=4$
$2^{3}=8$より、$a_{3}=8$
$2^{4}=16$より、$a_{4}=6$
$2^{5}=32$より、$a_{5}=2$
である。

解答ア:4, イ:8, ウ:6, エ:2

$a_{6}$は$32\times 2$の一の位だけど、必要なのは一の位だけなので、十の位以上は無関係。だから、$a_{6}$は$a_{5}\times 2$の一の位と考えてもよい。とすると、数列$\{a_{n}\}$は$\{2,\ 4,\ 8,\ 6\}$の繰り返しであることが分かる。だから、
$a_{n+4}=a_{n}$
である。

解答オ:3

余談:なぜ0も正解か

これとは別の話として、オは0も正解になる。しかし、0を選んでしまうと問題の流れからはずれてしまうので、以下の「なぜ0も正解か」の説明は読み飛ばして(2)に進んでもらってかまわない。


数列$a_{n}$は、
$n$が4の倍数のとき、$a_{n}=6$
$n$が4の倍数$+1$のとき、$a_{n}=2$
$n$が4の倍数$+2$のとき、$a_{n}=4$
$n$が4の倍数$+3$のとき、$a_{n}=8$
といえる。

ここで、

$n$が4の倍数であるとき
$n=4m$($m$は自然数)とかけるから、
$5n=5\cdot 4m$
となり、$5n$も4の倍数であり、$a_{n}=a_{5n}=6$である。

$n$が4の倍数$+1$であるとき
$n=4m+1$($m$は自然数)とかけるから、
$5n=5(4m+1)$
$5n$$=5\cdot 4m+5$
$5n$$=4(5m+1)+1$
となり、$5n$も4の倍数$+1$であり、$a_{n}=a_{5n}=2$である。

$n$が4の倍数$+2$であるとき
$n=4m+2$($m$は自然数)とかけるから、
$5n=5(4m+2)$
$5n$$=5\cdot 4m+10$
$5n$$=4(5m+2)+2$
となり、$5n$も4の倍数$+2$であり、$a_{n}=a_{5n}=4$である。

$n$が4の倍数$+3$であるとき
$n=4m+3$($m$は自然数)とかけるから、
$5n=5(4m+3)$
$5n$$=5\cdot 4m+15$
$5n$$=4(5m+3)+3$
となり、$5n$も4の倍数$+3$であり、$a_{n}=a_{5n}=8$である。

以上より、すべての自然数$n$において、$a_{n}=a_{5n}$であるといえる。
よって、

解答オ:0

(2)

まず$b_{n+4}$と$b_{n}$の二項間漸化式を作るようだけど、何だかよく分からないと思う。
でも、問題には①を「繰り返し用いる」と書いてあるし、カの漸化式には$a_{n+3}$とか$a_{n+2}$とか$a_{n+1}$とか$a_{n}$とかが入っている。
なので、①の$n$に$n+3$とか$n+2$とか$n+1$を代入してみたら何とかなるんじゃないかと予想がつく。
さっそくやってみよう。

①の$n$に$n+1,n+2,n+3$をそれぞれ代入して、
$b_{n+1}=\displaystyle \frac{a_{n}b_{n}}{4}$
$b_{n+2}=\displaystyle \frac{a_{n+1}b_{n+1}}{4}$
$b_{n+3}=\displaystyle \frac{a_{n+2}b_{n+2}}{4}$
$b_{n+4}=\displaystyle \frac{a_{n+3}b_{n+3}}{4}$

以上の式だけど、下の式の$b_{n+?}$に上の式を代入してゆくと、
$b_{n+4}=\displaystyle \frac{a_{n+3}\cdot\frac{a_{n+2}\cdot\frac{a_{n+1}\cdot\frac{a_{n}b_{n}}{4}}{4}}{4}}{4}$
となる。

とんでもない式ができた感じだけど、そうでもない。分母と分子に4をかけて、複分数を消してゆくと、
$b_{n+4}\displaystyle =\frac{a_{n+3}\cdot\frac{a_{n+2}\cdot\frac{a_{n+1}\cdot\frac{a_{n}b_{n}}{4}}{4}\times\frac{4}{4}}{4}}{4}$
途中式 $b_{n+4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a_{n+3}\cdot\frac{a_{n+2}\cdot\frac{a_{n+1}\cdot a_{n}b_{n}}{4^{2}}}{4}}{4}$
$b_{n+4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a_{n+3}\cdot\frac{a_{n+2}\cdot\frac{a_{n+1}\cdot a_{n}b_{n}}{4^{2}}}{4}\times\frac{4^{2}}{4^{2}}}{4}$
$b_{n+4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a_{n+3}\cdot\frac{a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_{n}b_{n}}{4^{3}}}{4}$
$b_{n+4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a_{n+3}\cdot\frac{a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_{n}b_{n}}{4^{3}}}{4}\times\frac{4^{3}}{4^{3}}$
$b_{n+4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a_{n+3}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_{n}\cdot b_{n}}{4^{4}}$
$b_{n+4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a_{n+3}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_{n}}{2^{8}}b_{n}$式A
となる。

解答カ:8

また、(1)で、数列$\{a_{n}\}$は、$2,\ 4,\ 8,\ 6$ のくり返しだということが分かっているので、連続する4項の積は
$2\times 4\times 8\times 6=2\times 2^{2}\times 2^{3}\times 2\cdot 3$
$=2^{7}\cdot 3$
より、
$a_{n+3}\cdot a_{n+2}\cdot a_{n+1}\cdot a_{n}=2^{7}\cdot 3$式B

アドバイス

間違っても$2 \times 4 \times 8 \times 6$を展開して、そのあと素因数分解をしてはいけない。かけ算をして、そのあと同じ数で割ってゆくわけで、時間のムダでもあるし、計算間違いのリスクも増える。くれぐれも数学の計算の基本はまず因数分解である。

解答キ:7

この式Bを式Aに代入して、
$b_{n+4}=\displaystyle \frac{2^{7}\cdot 3}{2^{8}}b_{n}$
$b_{n+4}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{2}b_{n}$
になる。

解答ク:3, ケ:2


これを表にすると、

表A
$b_{1}$ $\displaystyle \times\frac{3}{2}$ $b_{5}$ $\displaystyle \times\frac{3}{2}$ $b_{9}$
$b_{2}$ $\displaystyle \times\frac{3}{2}$ $b_{6}$ $\displaystyle \times\frac{3}{2}$ $b_{10}$
$b_{3}$ $\displaystyle \times\frac{3}{2}$ $b_{7}$ $\displaystyle \times\frac{3}{2}$
$b_{4}$ $\displaystyle \times\frac{3}{2}$ $b_{8}$ $\displaystyle \times\frac{3}{2}$

となる。

表Aから、数列$\{b_{n}\}$は、4つの等比数列を混ぜたものだということが分かる。

ここまで理解したところで、問題の先を読む。

コサの式の$b_{4k-3}$を$c_{k}$とおくと、
$c_{1}=b_{4\cdot 1-3}=b_{1}$
$c_{2}=b_{4\cdot 2-3}=b_{5}$
$c_{3}=b_{4\cdot 3-3}=b_{9}$
となるから、緑の列の数列をさしていると分かる。
なので、等比数列の一般項の公式から、
$c_{k}=b_{4k-3}=b_{1}\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}$
問題文から$b_{1}=1$なので、
$c_{k}$$=\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}$式C
となる。

解答コ:3, サ:2

シスの式の$b_{4k-2}$を$d_{k}$とおくと、上と同様に考えるとオレンジの数列であるのが分かるから、
$d_{k}=b_{4k-2}=b_{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}$
①より
$b_{2}=\displaystyle \frac{a_{1}b_{1}}{4}=\frac{2\cdot 1}{4}=\frac{1}{2}$
なので、
$d_{k}=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}$式D
である。

解答シ:1, ス;2

同じ考え方で、
$e_{k}=b_{4k-1}=b_{3}\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}$式E

解答セ:1, ソ:2

$f_{k}=b_{4k}=b_{4}\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}=\left(\frac{3}{2}\right)^{k-1}$式F

以上をいったん表に整理しよう。

表B
初項 第2項 第3項 第$n$項
$\{c_{n}\}=\{b_{4n-3}\}$ $1$ $b_{5}$ $b_{9}$ $\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$
$\{d_{n})=\{b_{4n-2}\}$ $12$ $b_{6}$ $b_{10}$ $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$
$\{e_{n}\}=\{b_{4n-1}\}$ $12$ $b_{7}$ $b_{11}$ $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$
$\{f_{n}\}=[b_{4n}\}$ $1$ $b_{8}$ $b_{12}$ $\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

アドバイス

ここでは数列に$c_{n}$とか$d_{n}$とか名前をつけまくっているけど、これは文章で説明する都合上であって、実際の試験のときにあんまり名前をつけるのは混乱のもとになるのでおすすめではない。

(3)

$S_{4m}$は$b_{1}$~$b_{4m}$の和なので、表Bの白い部分の和にあたる。

表Bを見ると、
解法1
ヨコの行の和をそれぞれ求め、それらをたして$S_{4m}$とする。
解法2
タテの列の和をそれぞれ求め、それらをたして$S_{4m}$とする。
の2つの解法が考えられる。

解法1

表Bのそれぞれの行の和を求める。ただし、式を簡略化するために、公比の$\displaystyle \frac{3}{2}$は$r$としてある。

等比数列の和の公式から、
1行目の和$=$4行目の和$=\displaystyle \frac{1\cdot(1-r^{m})}{1-r}$
2行目の和$=$3行目の和$=\displaystyle \frac{\frac{1}{2}\cdot(1-r^{m})}{1-r}$

なので、
$S_{4m}=\left\{\frac{1\cdot(1-r^{m})}{1-r}+\frac{\frac{1}{2}\cdot(1-r^{m})}{1-r}\right\}\times 2$
ここで、$\displaystyle \frac{(1-r^{m})}{1-r}$を共通因数としてくくると、
$S_{4m}\displaystyle =\frac{1-r^{m}}{1-r}\cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\times 2$
$S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1-r^{m}}{1-r}\times 3$

$r=\displaystyle \frac{3}{2}$なので、
$S_{4m}\displaystyle =\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^{m}}{1-\left(\frac{3}{2}\right)}\times 3$
$S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^{m}}{-\frac{1}{2}}\times 3$
分母分子に$-2$をかけて、
$S_{4m}$$=\left\{-2+2\left(\frac{3}{2}\right)^{m}\right\}\times 3$
$S_{4m}$$=6\left(\frac{3}{2}\right)^{m}-6$
となる。

解答タ:6, チ:6

解法1の別解

それぞれの行の和を求めるのに、等比数列の和の公式ではなく、Σを使うと、以下のような計算になる。ただし、式を簡略化するために、公比の$\displaystyle \frac{3}{2}$は$r$としてある。

$S_{4m}=\displaystyle \sum_{j=1}^{m}c_{j}+\sum_{j=1}^{m}d_{j}+\sum_{i=1}^{m}e_{j}+\sum_{j=1}^{m}f_{j}$
$S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =\sum_{j=1}^{m}(c_{j}+d_{j}+e_{j}+f_{j})$
$S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =\sum_{j=1}^{m}\left(r^{j-1}+\frac{1}{2}r^{j-1}+\frac{1}{2}r^{j-1}+r^{j-1}\right)$
$S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =\sum_{j=1}^{m}3r^{j-1}$

Σの公式より、
$S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =3\cdot\frac{1-r^{m}}{1-r}$
$r=\displaystyle \frac{3}{2}$なので、
$S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =3\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^{m}}{1-\left(\frac{3}{2}\right)}$
途中式 $S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =3\cdot\frac{1-\left(\frac{3}{2}\right)^{m}}{-\frac{1}{2}}$
分母分子に$-2$をかけて、
$S_{4m}$$=3\cdot\left\{-2+2\left(\frac{3}{2}\right)^{m}\right\}$
$S_{4m}$$=6\left(\frac{3}{2}\right)^{m}-6$
となる。

解答タ:6, チ:6

解法2

表Bのそれぞれのタテの列の和を、数列$\{g_{n}\}$とする。

一般項$g_{n}$は、公比の$\displaystyle \frac{3}{2}$を$r$とすると、表B右端の列の和なので、
$g_{n}=r^{n-1}+\displaystyle \frac{1}{2}r^{n-1}+\frac{1}{2}r^{n-1}+r^{n-1}$
$g_{n}$$=3r^{n-1}$
となる。
よって、数列$\{g_{n}\}$は、初項$3$、公比$r=\displaystyle \frac{3}{2}$の等比数列である。

ここから、
$S_{4m}=\displaystyle \sum_{k=1}^{m}3r^{k-1}$
としてもよいし、等比数列の和の公式から
$S_{4m}=\displaystyle \frac{3\cdot(1-r^{m})}{1-r}$
と考えてもよい。

どちらにしても、式は
$S_{4m}=\displaystyle \frac{3\left\{1-\left(\frac{3}{2}\right)^{m}\right\}}{1-\left(\frac{3}{2}\right)}$
となる。よって、
$S_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3-3\left(\frac{3}{2}\right)^{m}}{-\frac{1}{2}}$
分母分子に$-2$をかけて、
$S_{4m}$$=-6+6\left(\frac{3}{2}\right)^{m}$
$S_{4m}$$=6\left(\frac{3}{2}\right)^{m}-6$
である。

解答タ:6, チ:6

(4)

$T_{4m}$は$b_{1}$~$b_{4m}$の積なので、表Bの白い部分の積にあたる。
今度は問題文が解き方を指定しているので、流れに乗って解いてゆく。

表Bのそれぞれのタテの列の積を、数列$\{h_{n}\}$とする。

$h_{n}$は表B右端の列の積なので、公比の$\displaystyle \frac{3}{2}$を$r$とすると、
$h_{n}=r^{n-1}\displaystyle \times\frac{1}{2}r^{n-1}\times\frac{1}{2}r^{n-1}\times r^{n-1}$
$h_{n}=\displaystyle \frac{1}{4}r^{4(n-1)}$

解答ツ:4, テ:4

$T_{4n}$は表Bの白い部分の積なので、
$T_{4m}=h_{1}\times h_{2}\times h_{3}\times\cdots\times h_{m}$
$T_{4m}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}r^{4\cdot 0}\times\frac{1}{4}r^{4\cdot 1}\times\frac{1}{4}r^{4\cdot 2}\times\cdots\times\frac{1}{4}r^{4(m-1)}$
$T_{4m}$$=\left(\frac{1}{4}\right)^{m}\times(r^{4\cdot 0}\times r^{4\cdot 1}\times r^{4\cdot 2}\times\cdots\times r^{4(m-1)})$
$A^{\alpha}\times A^{\beta}=A^{\alpha+\beta}$なので、
$T_{4m}$$=\left(\frac{1}{4}\right)^{m}\times r^{4\cdot 0+4\cdot 1+4\cdot 2+\cdots+4(m-1)}$

ここで、$r$の指数部分は、初項$0$、公差$4$、末項$4(m-1)$、項数$m$の等差数列なので、
$T_{4m}=\left(\frac{1}{4}\right)^{m}\times r^{\frac{1}{2}m\{0+4(m-1)\}}$
$T_{4m}$$=\left(\frac{1}{4}\right)^{m}\times r^{2m(m-1)}$
$T_{4m}$$=\frac{1}{4^{m}}\left(\frac{3}{2}\right)^{2m^{2}-2m}$式G
となる。

解答ト:2, ナ:2

また、$T_{10}$は表Bの青い枠の部分の積なので、
$T_{10}=T_{4\cdot 2}\times c_{3}\times d_{3}$式H
とかける。

ここで、公比の$\displaystyle \frac{3}{2}$を$r$とすると、
式Gより、
$T_{4\cdot 2}=\displaystyle \frac{1}{4^{2}}r^{2\cdot 2^{2}-2\cdot 2}=\frac{1}{4^{2}}r^{4}=\frac{1}{2^{4}}r^{4}$
表Bより、
$c_{3}=r^{3-1}=r^{2}$
$d_{3}=\displaystyle \frac{1}{2}r^{3-1}=\frac{1}{2}r^{2}$
なので、式Hは
$T_{10}=\displaystyle \frac{1}{2^{4}}r^{4}\times r^{2}\times\frac{1}{2}r^{2}$
$T_{10}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2^{5}}r^{8}$
$r=\displaystyle \frac{3}{2}$なので、
$T_{10}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2^{5}}\cdot\frac{3^{8}}{2^{8}}$
$T_{10}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3^{8}}{2^{13}}$
である。

解答ニ:8, ヌ:1, ネ:3