大学入試センター試験 2015年(平成27年) 本試 数学ⅡB 第2問 解説

(1)

突然、久しぶりに見る微分の定義の問題だ。

復習

微分の定義の式は、
$f'(x)=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
だった

けれど、これを忘れてても、原理が分かっていたら問題の流れに乗れば解ける。

図A
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅡB第2問 解説図A

図Aで、$x$が$a$から$a+h$まで変化するときの$f(x)$の平均変化率は、赤い線の傾き。
傾きは$\displaystyle \frac{x\text{の増加量}}{y\text{の増加量}}$なので、
赤い線の傾き$=\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$
$f(x)=\displaystyle \frac{1}{2}x^{2}$だから、
赤い線の傾き$=\displaystyle \frac{\frac{1}{2}(a+h)^{2}-\frac{1}{2}a^{2}}{h}$
赤い線の傾き$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\frac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h}$

アドバイス

このくらいの計算だと展開の方が早かったりするけど、もっとややこしい式だと因数分解の方が楽だ。なので、慣れるために因数分解で計算しておこう。

$\mathrm{A}^{2}-\mathrm{B}^{2}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})(\mathrm{A}-\mathrm{B})$なので、
赤い線の傾き$=\displaystyle \frac{(a+h+a)(a+h-a)}{2h}$
赤い線の傾き$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{(2a+h)\cdot h}{2h}$
赤い線の傾き$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2a+h}{2}$式A
となる。

解答ア:a, イ:2

ここで微分の原理を思いだそう。$h$が限りなく$0$に近づくときの赤い線の傾きが微分係数だった。だから、
$f'(a)=\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\left(a+\frac{h}{2}\right)=a$
である。

解答ウ:0, エ:a

アドバイス

微分の定義の詳しい解説はこのページ参照。

(2)

ここからよく見る問題になった。

図B
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅡB第2問 解説図B

接線の方程式を求めるために、まず接線の傾きを出そう。
(1)より、放物線C上の点P$\left(a,\ \frac{1}{2}a^{2}\right)$における接線の傾きは$a$。

傾きが$a$の直線を$\left(a,\ \frac{1}{2}a^{2}\right)$に平行移動するので、$\ell$の式は、
$y-\displaystyle \frac{1}{2}a^{2}=a(x-a)$
$y=ax-\displaystyle \frac{1}{2}a^{2}$式B
である。

解答オ:a, カ:2

$\ell$と$x$軸との交点Qは、式Bに$y=0$を代入して、
$ax-\displaystyle \frac{1}{2}a^{2}=0$
$a\left(x-\frac{1}{2}a\right)=0$
問題文から$0\neq a$なので、
$x-\displaystyle \frac{1}{2}a=0$
$x=\displaystyle \frac{1}{2}a$
$x$$=\displaystyle \frac{a}{2}$
より、
$\left(\frac{a}{2},\ 0\right)$
である。

解答キ:a, ク:2

直線$m$は直線$\ell$と垂直なので、傾き同士をかけると$-1$になるから、傾きが分かる。この傾きと通る点から、方程式を作ろう。

直線$\ell$の傾きは式Bより$a$なので、直線$m$の傾きを$k$とすると、
$ak=-1$
$k=-\displaystyle \frac{1}{a}$
となる。

$m$は傾き$-\displaystyle \frac{1}{a}$で点Q$\left(\frac{a}{2},\ 0\right)$を通る直線なので、$m$の式は
$y-0=-\displaystyle \frac{1}{a}\left(x-\frac{1}{2}a\right)$
$y=-\displaystyle \frac{1}{a}x+\frac{1}{2}$式C
である。

解答ケ:-, コ:1, サ:a, シ:1, ス:2


ここでいったん図を整理したいけど、先に点Aの座標だけ求めておこう。
点Aは式Cの$y$切片なので、$\left(0,\ \frac{1}{2}\right)$。
また、原点を点O、点$(a,\ 0)$を点B、直線$\ell$の$y$切片を点Cと名づけておく。
以上を整理したものが、図Cである。

図C
大学入試センター試験2015年本試 数学ⅡB第2問 解説図C

図Cで、赤い三角形の面積が$S$。

$S$の求め方は何通りも考えられるが、ここでは$S=$台形OAPB$-($△OAQ$+$△BPQ$)$とする。

復習

台形の面積の公式を思い出すと、
台形の面積$=\displaystyle \frac{(\text{上底}+\text{下底}) \times \text{高さ}}{2}$

なので、
台形OAPB$=\displaystyle \frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{a^{2}}{2}\right)\times a}{2}$
分母分子を2倍して、
台形OAPB$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(a^{2}+1)}{4}$式D

三角形の面積$=\displaystyle \frac{\text{底辺}\times \text{高さ}}{2}$
より、
△OAQ$=\displaystyle \frac{\frac{a}{2}\times\frac{1}{2}}{2}=\frac{a}{8}$
△BPQ$=\displaystyle \frac{\left(a-\frac{a}{2}\right)\times\frac{a^{2}}{2}}{2}=\frac{a^{3}}{8}$

以上より、
$S=\displaystyle \frac{a(a^{2}+1)}{4}-\left(\frac{a}{8}+\frac{a^{3}}{8}\right)$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(a^{2}+1)}{4}-\frac{a(a^{2}+1)}{8}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(a^{2}+1)}{8}$式E
となる。

解答セ:1, ソ:8

別解

AQ⊥PQなので、AQとPQを求めて底辺と高さにする。直球勝負な解き方をしても、この問題の場合はあまり面倒な計算にはならない。

三角形の面積$=\displaystyle \frac{\text{底辺}\times \text{高さ}}{2}$なので、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\times\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a^{2}}{2}\right)^{2}}$
途中式 $S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2^{3}}\sqrt{a^{2}+1}\sqrt{(a^{2})^{2}+a^{2}}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2^{3}}\sqrt{a^{2}+1}\sqrt{a^{2}(a^{2}+1)}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2^{3}}\sqrt{a^{2}+1}\times a\sqrt{a^{2}+1}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a\sqrt{a^{2}+1}^{2}}{2^{3}}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(a^{2}+1)}{8}$

解答セ:1, ソ:8


さらに、図Cで青い部分の面積が$T$。
$T$については、
解法1
直線APの式を求め、$\displaystyle \int_{0}^{a}(\text{直線}\mathrm{AP}-\text{放物線C})dx$とする。
解法2
$\displaystyle \int_{0}^{a}(\text{放物線C})dx$として図Cの黄色い部分の面積を求め、台形OAPBから引く。おすすめ
などの方法が考えられる。
解法1の方が自然な発想かも知れないが、解法2の方が計算が楽。

解法1

直線APは
傾き$\displaystyle \frac{\frac{a^{2}}{2}-\frac{1}{2}}{a}=\frac{a^{2}-1}{2a}$
$y$切片$\displaystyle \frac{1}{2}$
の直線なので、
$y=\displaystyle \frac{a^{2}-1}{2a}x+\frac{1}{2}$
とかける。

よって、
$T=\displaystyle \int_{0}^{a}\left\{\left(\frac{a^{2}-1}{2a}x+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}x^{2}\right\}dx$
途中式 $T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\int_{0}^{a}\left(-x^{2}+\frac{a^{2}-1}{a}x+1\right)dx$
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{a^{2}-1}{2a}x^{2}+x\right]_{0}^{a}$
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3}a^{3}+\frac{a^{2}-1}{2a}a^{2}+a\right)$
$a$でくくって、
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}a\left(-\frac{1}{3}a^{2}+\frac{a^{2}-1}{2}+1\right)$
分数が多くて面倒なので、$()$の外に$\displaystyle \frac{1}{6}$、$()$の中に$6$をかけて分母を払おう。
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{12}a\{-2a^{2}+3(a^{2}-1)+6\}$
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{12}a(a^{2}+3)$
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(a^{2}+3)}{12}$式F
である。

解答タ:3, チ:1, ツ:2

解法2

図Cの黄色の面積を$U$とすると、
$T=$台形OAPB$-U$式G
とかける。

$U=\displaystyle \int_{0}^{a}\frac{1}{2}x^{2}dx$
$U$$=\left[\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{a}$
$U\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6}a^{3}$
である。

また、式Dより
台形OAPB$=\displaystyle \frac{a(a^{2}+1)}{4}$

なので、式Gは
$T=\displaystyle \frac{a(a^{2}+1)}{4}-\frac{1}{6}a^{3}$

通分すると、
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3a(a^{2}+1)-2a^{3}}{12}$
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(3a^{2}+3-2a^{2})}{12}$
$T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(a^{2}+3)}{12}$式H
となる。

解答タ:3, チ:1, ツ:2

次は$0 \lt a$における$S-T$の値を調べよという。
まず$S-T$の式を求めよう。

以上、式E・式Hから、
$S-T=\displaystyle \frac{a(a^{2}+1)}{8}-\frac{a(a^{2}+3)}{12}$
通分して、
$S-T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3a(a^{2}+1)-2a(a^{2}+3)}{24}$
$S-T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(3a^{2}+3-2a^{2}-6)}{24}$
$S-T\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a(a^{2}-3)}{24}$式I

解答テ:3, ト:2, ナ:4

$S-T \gt 0$の範囲を求めるろというので、式Iより、
$0 \lt \displaystyle \frac{a(a^{2}-3)}{24}$
$0 \lt a(a^{2}-3)$
$a \gt 0$だから、両辺を$a$で割れ、不等号の向きも変わらない。
$0 \lt a^{2}-3$
$0 \lt (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$
$a \lt -\sqrt{3},\ \sqrt{3} \lt a$

これと$a \gt 0$の重なる部分が答えなので、
$\sqrt{3} \lt a$
である。

解答ニ:3

最後に、$0 \lt a$のときの$S-T$の最小値を出せという。
式Iを微分して増減表を書こう。

$S-T=\displaystyle \frac{1}{24}(a^{3}-3a)$
$(S-T)'=\displaystyle \frac{1}{24}(3a^{2}-3)$
$(S-T)'\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{8}(a^{2}-1)$
$(S-T)'\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{8}(a+1)(a-1)$

より、
$a=1$のとき
$(S-T)'=0$
$S-T=\displaystyle \frac{1}{24}(1-3)$
$S-T=-\displaystyle \frac{1}{12}$

以上から増減表を書くと、

$a$ $0$ $1$
$(S-T)'$ $-$ $0$ $+$
$S-T$ $\searrow$ $-\displaystyle \frac{1}{12}$ $\nearrow$

増減表より、
$a=1$のとき最小値$-\displaystyle \frac{1}{12}$
である。

解答ヌ:1 ,ネ:- ,ノ:1 ,ハ:1 ,ヒ:2