突然、久しぶりに見る微分の定義の問題だ。

けれど、これを忘れてても、原理が分かっていたら問題の流れに乗れば解ける。

図の固定

図Ａで、$x$が$a$から$a+h$まで変化するときの$f(x)$の平均変化率は、赤い線の傾き。
傾きは$\dfrac{x\text{の増加量}}{y\text{の増加量}}$なので、
赤い線の傾き$=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{a+h-a}$
$f(x)=\dfrac{1}{2}x^{2}$だから、
$$ \begin{align} \text{赤い線の傾き}&=\dfrac{\cfrac{1}{2}(a+h)^{2}-\cfrac{1}{2}a^{2}}{h}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(a+h)^{2}-a^{2}}{h} \end{align} $$

$\mathrm{A}^{2}-\mathrm{B}^{2}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})(\mathrm{A}-\mathrm{B})$なので、
$$ \begin{align} \text{赤い線の傾き}&=\dfrac{(a+h+a)(a+h-a)}{2h}\\ &=\dfrac{(2a+h)\cdot h}{2h}\\ &=\dfrac{2a+h}{2}\class{tex_formula}{式Ａ} \end{align} $$ となる。

解答ア：ａ, イ：２

ここで微分の原理を思いだそう。$h$が限りなく$0$に近づくときの赤い線の傾きが微分係数だった。だから、
$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\left(a+\dfrac{h}{2}\right)=a$
である。

解答ウ：０, エ：ａ

ここからよく見る問題になった。

図の固定

接線の方程式を求めるために、まず接線の傾きを出そう。
(1)より、放物線C上の点P$\left(a,\ \dfrac{1}{2}a^{2}\right)$における接線の傾きは$a$。

傾きが$a$の直線を$\left(a,\ \dfrac{1}{2}a^{2}\right)$に平行移動するので、$\ell$の式は、
$y-\dfrac{1}{2}a^{2}=a(x-a)$
$y=ax-\dfrac{1}{2}a^{2}$式Ｂ
である。

解答オ：ａ, カ：２

$\ell$と$x$軸との交点Qは、式Ｂに$y=0$を代入して、
$ax-\dfrac{1}{2}a^{2}=0$
$a\left(x-\dfrac{1}{2}a\right)=0$
問題文から$0\neq a$なので、
$x-\dfrac{1}{2}a=0$
$$ \begin{align} x&=\dfrac{1}{2}a\\ &=\dfrac{a}{2} \end{align} $$ より、
$\left(\dfrac{a}{2},\ 0\right)$
である。

解答キ：ａ, ク：２

直線$m$は直線$\ell$と垂直なので、傾き同士をかけると$-1$になるから、傾きが分かる。この傾きと通る点から、方程式を作ろう。

直線$\ell$の傾きは式Ｂより$a$なので、直線$m$の傾きを$k$とすると、
$ak=-1$
$k=-\dfrac{1}{a}$
となる。

$m$は傾き$-\dfrac{1}{a}$で点Q$\left(\dfrac{a}{2},\ 0\right)$を通る直線なので、$m$の式は
$y-0=-\dfrac{1}{a}\left(x-\dfrac{1}{2}a\right)$
$y=-\dfrac{1}{a}x+\dfrac{1}{2}$式Ｃ
である。

解答ケ：－, コ：１, サ：ａ, シ：１, ス：２

ここでいったん図を整理したいけど、先に点Ａの座標だけ求めておこう。
点Aは式Ｃの$y$切片なので、$\left(0,\ \dfrac{1}{2}\right)$。
また、原点を点O、点$(a,\ 0)$を点B、直線$\ell$の$y$切片を点Cと名づけておく。
以上を整理したものが、図Ｃである。

図の固定

図Ｃで、赤い三角形の面積が$S$。

$S$の求め方は何通りも考えられるが、ここでは$S=$台形OAPB$-($△OAQ$+$△BPQ$)$とする。

なので、

$$ \begin{align} \text{台形}\mathrm{OAPB}&=\dfrac{\left(\cfrac{1}{2}+\cfrac{a^{2}}{2}\right)\times a}{2}\\ &=\dfrac{a(a^{2}+1)}{4}\class{tex_formula}{式Ｄ} \end{align} $$

三角形の面積$=\dfrac{\text{底辺}\times \text{高さ}}{2}$
より、
$\triangle\mathrm{OAQ}=\dfrac{\cfrac{a}{2}\times\cfrac{1}{2}}{2}=\dfrac{a}{8}$
$$ \begin{align} \triangle\mathrm{BPQ}&=\dfrac{\left(a-\cfrac{a}{2}\right)\times\cfrac{a^{2}}{2}}{2}\\ &=\dfrac{a^{3}}{8} \end{align} $$

以上より、
$$ \begin{align} S&=\dfrac{a(a^{2}+1)}{4}-\left(\dfrac{a}{8}+\dfrac{a^{3}}{8}\right)\\ &=\dfrac{a(a^{2}+1)}{4}-\dfrac{a(a^{2}+1)}{8}\\ &=\dfrac{a(a^{2}+1)}{8}\class{tex_formula}{式Ｅ} \end{align} $$ である。

解答セ：１, ソ：８

さらに、図Ｃで青い部分の面積が$T$だ。

$T$については、

解法１
直線APの式を求め、$\displaystyle \int_{0}^{a}(\text{直線}\mathrm{AP}-\text{放物線Ｃ})\,dx$とする。

解法２
$\displaystyle \int_{0}^{a}(\text{放物線Ｃ})\,dx$として図Ｃの黄色い部分の面積を求め、台形OAPBから引く。おすすめ

などの方法が考えられる。
解法１の方が自然な発想かも知れないが、解法２の方が計算が楽。

次は$0 \lt a$における$S-T$の値を調べよという。
まず$S-T$の式を求めよう。

以上、式Ｅ・式Ｈから、
$$ \begin{align} S-T&=\dfrac{a(a^{2}+1)}{8}-\dfrac{a(a^{2}+3)}{12}\\ &=\dfrac{3a(a^{2}+1)-2a(a^{2}+3)}{24}\\ &=\dfrac{a(3a^{2}+3-2a^{2}-6)}{24}\\ &=\dfrac{a(a^{2}-3)}{24}\class{tex_formula}{式Ｉ} \end{align} $$ である。

解答テ：３, ト：２, ナ：４

$S-T \gt 0$の範囲を求めるろというので、式Ｉより、
$0 \lt \dfrac{a(a^{2}-3)}{24}$
$0 \lt a(a^{2}-3)$
$a \gt 0$だから、両辺を$a$で割れ、不等号の向きも変わらない。
$0 \lt a^{2}-3$
$0 \lt (a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})$
$a \lt -\sqrt{3},\ \sqrt{3} \lt a$

これと$a \gt 0$の重なる部分が答えなので、
$\sqrt{3} \lt a$
である。

解答ニ：３

最後に、$0 \lt a$のときの$S-T$の最小値を出せという。
式Ｉを微分して増減表を書こう。

$S-T=\dfrac{1}{24}(a^{3}-3a)$
$$ \begin{align} (S-T)'&=\dfrac{1}{24}(3a^{2}-3)\\ &=\dfrac{1}{8}(a^{2}-1)\\ &=\dfrac{1}{8}(a+1)(a-1) \end{align} $$

より、
$a=1$のとき
$(S-T)'=0$
$$ \begin{align} S-T&=\dfrac{1}{24}(1-3)\\ &=-\dfrac{1}{12} \end{align} $$

以上から増減表を書くと、

増減表より、
$a=1$のとき最小値$-\dfrac{1}{12}$
である。

解答ヌ：１ ,ネ：－ ,ノ：１ ,ハ：１ ,ヒ：２