大学入試センター試験 2020年(令和2年) 本試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

(1)

直線$\ell$の式を
$y=(a^{2}-2a-8)x+a$式A
とする。

直線$\ell$の傾きが負になるのは、$x$の係数の
$a^{2}-2a-8$
が負になるとき。

このときの$a$は、2次不等式
$a^{2}-2a-8\lt0$
を解いて、
$(a+2)(a-4)\lt0$
より
$-2\lt a\lt4$
である。

解答ア:-, イ:2, ウ:4

(2) エ~キ 解法1

直線$\ell$と$x$軸との交点の座標を
$(b,0)$
とおく。

これを式Aに代入すると、
$(a^{2}-2a-8)b+a=0$
より
$(a^{2}-2a-8)b=-a$
となる。

問題文より
$a^{2}-2a-8\neq 0$
なので、両辺を
$a^{2}-2a-8$
で割って、
$b=-\displaystyle \frac{a}{a^{2}-2a-8}$式B
とかける。


式Bについて、ちょっと考えてみよう。

もし、
$\left\{\begin{array}{l}
a\lt0\\
a^{2}-2a-8\lt0
\end{array}\right.$
なら、式Bは
$b=-\displaystyle \frac{\text{負の数}}{\text{負の数}}$
となって
$b\lt0$
だ。

また、
$\left\{\begin{array}{l}
a=0\\
a^{2}-2a-8\lt0
\end{array}\right.$
なら、式Bは
$b=-\displaystyle \frac{0}{\text{負の数}}$
となって
$b=0$
だ。

この考え方をまとめると、表Aができる。
問題文より
$a^{2}-2a-8\neq 0$
なので、表Aには$a^{2}-2a-8=0$の場合は載せていない。

表A
$a^{2}-2a-8\lt0$$a^{2}-2a-8\gt0$
$a\lt0$$b\lt0$$b\gt0$
$a=0$$b=0$$b=0$
$a\gt0$$b\gt0$$b\lt0$

(1)より
$a^{2}-2a-8\lt0$
の解は
$-2\lt a\lt4$
なので、すぐに
$a^{2}-2a-8\gt0$
の解は
$a\lt-2$,$4\lt a$
だと分かる。

これを使って表Aをちょっと書き直して、

表A'
$-2\lt a\lt4$$a\lt-2$,$4\lt a$
$a\lt0$$b\lt0$$b\gt0$
$a=0$$b=0$$b=0$
$a\gt0$$b\gt0$$b\lt0$

としておこう。


$a\gt0$の場合に$b\gt0$となるのは、表A'の青い部分。
つまり、
$\left\{\begin{array}{l}
a\gt0\\
-2\lt a\lt4
\end{array}\right.$
の共通部分だ。

これは、数直線を描くまでもなく、
$0\lt a\lt4$
である。

解答エ:0, オ:4


$a\leqq 0$の場合に$b\gt0$となるのは、表A'の緑の部分。
つまり、
$\left\{\begin{array}{l}
a\lt0\\
a\lt-2\text{,}4\lt a
\end{array}\right.$
の共通部分だ。

これも、数直線を描くまでもなく、
$a\lt-2$
である。

解答カ:-, キ:2


アドバイス

と、考え方が分かりやすいように表を書いて説明したけれど、センター試験本番で表を書いている時間はない
なので、考え方が分かったら、お勧めは解法2だ。

(2) エ~キ 解法2

直線$\ell$と$x$軸との交点の座標を
$(b,0)$
とおく。

これを式Aに代入すると、
$(a^{2}-2a-8)b+a=0$
となる。

問題文より
$a^{2}-2a-8\neq 0$
なので、両辺を
$a^{2}-2a-8$
で割って、
$b=-\displaystyle \frac{a}{a^{2}-2a-8}$式B
とかける。

ここまで、解法1と同じ。


$a\gt0$のとき$b\gt0$を、式Bを使って書くと、
$-\displaystyle \frac{\text{正の数}}{a^{2}-2a-8}=\text{正の数}$
となる。

これを変形して、
$-\text{正の数}=\text{正の数}\times(a^{2}-2a-8)$
より
$\text{負の数}=a^{2}-2a-8$
$a^{2}-2a-8\lt0$
と考えられる。

よって、の解は、連立不等式
$\left\{\begin{array}{l}
a\gt0\\
a^{2}-2a-8\lt0
\end{array}\right.$
の解だ。


(1)より
$a^{2}-2a-8\lt0$
の解は
$-2\lt a\lt4$
なので、この連立不等式の解は
$\left\{\begin{array}{l}
a\gt0\\
-2\lt a\lt4
\end{array}\right.$
の共通部分だ。

これは、数直線を描くまでもなく、
$0\lt a\lt4$
である。

解答エ:0, オ:4


$a\leqq 0$のとき$b\gt0$を、式Bを使って書くと、
$-\displaystyle \frac{0\text{または負の数}}{a^{2}-2a-8}=\text{正の数}$式C
となる。

ところが、左辺の分子が$0$のとき、左辺は$0$となってしまい、式が成り立たない。
よって、$a=0$は不適。
$a\lt0$のときだけ考えよう。


このとき、式Cは
$-\displaystyle \frac{\text{負の数}}{a^{2}-2a-8}=\text{正の数}$
となる。

これを変形して、
$-\text{負の数}=\text{正の数}\times(a^{2}-2a-8)$
より
$\text{正の数}=a^{2}-2a-8$
$a^{2}-2a-8\gt0$
と考えられる。

よって、カキの解は、連立不等式
$\left\{\begin{array}{l}
a\lt0\\
a^{2}-2a-8\gt0
\end{array}\right.$
の解だ。


(1)より
$a^{2}-2a-8\lt0$
の解は
$-2\lt a\lt4$
なので、
$a^{2}-2a-8\gt0$
の解は
$a\lt-2$,$4\lt a$
になるはず。
よって、この連立不等式の解は
$\left\{\begin{array}{l}
a\lt0\\
a\lt-2\text{,}4\lt a
\end{array}\right.$
の共通部分だ。

これも、数直線を描くまでもなく、
$a\lt-2$
である。

解答カ:-, キ:2

(2) ク~シ

次は$a=\sqrt{3}$のときの$b$だ。

式Bに$a=\sqrt{3}$を代入すると、
$b=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}^{2}-2\sqrt{3}-8}$
$b$$\displaystyle=-\frac{\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}-5}$
$b$$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+5}$
となる。

分母を有理化して、
$b=\displaystyle \frac{\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}-5\right)}{\left(2\sqrt{3}+5\right)\left(2\sqrt{3}-5\right)}$
途中式 $b$$\displaystyle=\frac{6-5\sqrt{3}}{12-25}$
$b$$\displaystyle=\frac{6-5\sqrt{3}}{-13}$
$b$$\displaystyle=\frac{5\sqrt{3}-6}{13}$
である。

解答ク:5, ケ:3, コ:6, サ:1, シ:3