直線$\ell$の式を
$y=(a^{2}-2a-8)x+a$式Ａ
とする。

直線$\ell$の傾きが負になるのは、$x$の係数の
$a^{2}-2a-8$
が負になるとき。

このときの$a$は、２次不等式
$a^{2}-2a-8\lt0$
を解いて、
$(a+2)(a-4)\lt0$
より
$-2\lt a\lt4$
である。

解答ア：－, イ：２, ウ：４

直線$\ell$と$x$軸との交点の座標を
$(b,0)$
とおく。

これを式Ａに代入すると、
$(a^{2}-2a-8)b+a=0$
より
$(a^{2}-2a-8)b=-a$
となる。

問題文より
$a^{2}-2a-8\neq 0$
なので、両辺を
$a^{2}-2a-8$
で割って、
$b=-\displaystyle \frac{a}{a^{2}-2a-8}$式Ｂ
とかける。

式Ｂについて、ちょっと考えてみよう。

この考え方をまとめると、表Ａができる。
問題文より
$a^{2}-2a-8\neq 0$
なので、表Ａには$a^{2}-2a-8=0$の場合は載せていない。

(1)より
$a^{2}-2a-8\lt0$
の解は
$-2\lt a\lt4$
なので、すぐに
$a^{2}-2a-8\gt0$
の解は
$a\lt-2$，$4\lt a$
だと分かる。

これを使って表Ａをちょっと書き直して、

としておこう。

$a\gt0$の場合に$b\gt0$となるのは、表Ａ'の青い部分。
つまり、
$\left\{\begin{array}{l}
a\gt0\\
-2\lt a\lt4
\end{array}\right.$
の共通部分だ。

これは、数直線を描くまでもなく、
$0\lt a\lt4$
である。

解答エ：０, オ：４

$a\leqq 0$の場合に$b\gt0$となるのは、表Ａ'の緑の部分。
つまり、
$\left\{\begin{array}{l}
a\lt0\\
a\lt-2\text{，}4\lt a
\end{array}\right.$
の共通部分だ。

これも、数直線を描くまでもなく、
$a\lt-2$
である。

解答カ：－, キ：２

直線$\ell$と$x$軸との交点の座標を
$(b,0)$
とおく。

これを式Ａに代入すると、
$(a^{2}-2a-8)b+a=0$
となる。

問題文より
$a^{2}-2a-8\neq 0$
なので、両辺を
$a^{2}-2a-8$
で割って、
$b=-\displaystyle \frac{a}{a^{2}-2a-8}$式Ｂ
とかける。

ここまで、解法１と同じ。

$a\gt0$のとき$b\gt0$を、式Ｂを使って書くと、
$-\displaystyle \frac{\text{正の数}}{a^{2}-2a-8}=\text{正の数}$
となる。

これを変形して、
$-\text{正の数}=\text{正の数}\times(a^{2}-2a-8)$
より
$\text{負の数}=a^{2}-2a-8$
$a^{2}-2a-8\lt0$
と考えられる。

よって、エオの解は、連立不等式
$\left\{\begin{array}{l}
a\gt0\\
a^{2}-2a-8\lt0
\end{array}\right.$
の解だ。

(1)より
$a^{2}-2a-8\lt0$
の解は
$-2\lt a\lt4$
なので、この連立不等式の解は
$\left\{\begin{array}{l}
a\gt0\\
-2\lt a\lt4
\end{array}\right.$
の共通部分だ。

これは、数直線を描くまでもなく、
$0\lt a\lt4$
である。

解答エ：０, オ：４

$a\leqq 0$のとき$b\gt0$を、式Ｂを使って書くと、
$-\displaystyle \frac{0\text{または負の数}}{a^{2}-2a-8}=\text{正の数}$式Ｃ
となる。

ところが、左辺の分子が$0$のとき、左辺は$0$となってしまい、式が成り立たない。
よって、$a=0$は不適。
$a\lt0$のときだけ考えよう。

このとき、式Ｃは
$-\displaystyle \frac{\text{負の数}}{a^{2}-2a-8}=\text{正の数}$
となる。

これを変形して、
$-\text{負の数}=\text{正の数}\times(a^{2}-2a-8)$
より
$\text{正の数}=a^{2}-2a-8$
$a^{2}-2a-8\gt0$
と考えられる。

よって、カキの解は、連立不等式
$\left\{\begin{array}{l}
a\lt0\\
a^{2}-2a-8\gt0
\end{array}\right.$
の解だ。

(1)より
$a^{2}-2a-8\lt0$
の解は
$-2\lt a\lt4$
なので、
$a^{2}-2a-8\gt0$
の解は
$a\lt-2$，$4\lt a$
になるはず。
よって、この連立不等式の解は
$\left\{\begin{array}{l}
a\lt0\\
a\lt-2\text{，}4\lt a
\end{array}\right.$
の共通部分だ。

これも、数直線を描くまでもなく、
$a\lt-2$
である。

解答カ：－, キ：２

次は$a=\sqrt{3}$のときの$b$だ。

式Ｂに$a=\sqrt{3}$を代入すると、
$b=-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}^{2}-2\sqrt{3}-8}$
$b$$\displaystyle=-\frac{\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}-5}$
$b$$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+5}$
となる。

分母を有理化して、
$b=\displaystyle \frac{\sqrt{3}\left(2\sqrt{3}-5\right)}{\left(2\sqrt{3}+5\right)\left(2\sqrt{3}-5\right)}$

途中式

$b$$\displaystyle=\frac{6-5\sqrt{3}}{12-25}$
$b$$\displaystyle=\frac{6-5\sqrt{3}}{-13}$

$b$$\displaystyle=\frac{5\sqrt{3}-6}{13}$
である。

解答ク：５, ケ：３, コ：６, サ：１, シ：３