大学入試センター試験 2020年(令和２年) 本試数学ⅠＡ第１問 [2] 解説

問題を解く準備

まず最初にすることは、問題の集合を目に見える形にすることだ。
というわけで、集合$P$，$Q$，$R$をベン図で表そう。

$P$は$4$の倍数の自然数の集合
$Q$は$6$の倍数の自然数の集合
なので、集合$P$，$Q$は図Ａのような関係になる。

図の固定

集合$P$と$Q$の共通部分、つまり図Ａの青い部分は、$4$と$6$の公倍数の集合だ。
これは、$4$と$6$の最小公倍数である$12$の倍数の自然数の集合ともいえる。

$R$は$24$の倍数の自然数の集合
なので、集合$R$は図Ａの青い部分に含まれる。

以上より、図Ａに集合$R$を書き加えると図Ｂのようになる。

図の固定

集合$P$，$Q$，$R$の関係が分かったところで、問題を解きはじめよう。

$32$は$4$の倍数だけど、$6$の倍数じゃない。
つまり、集合$P$のメンバーだけど、集合$Q$のメンバーじゃない。
ベン図で表すと、図Ｃの青い集合に含まれる。

図の固定

図Ｃの青い集合は、
$P$ かつ $Q$の外
なので
$P\cap\overline{Q}$
とかけるから、
$32\in P\cap\overline{Q}$
である。

解答ス：２

$P\cap Q$は、図Ａの青い部分。
始めに考えたように、これは$12$の倍数の自然数の集合なので、最小のメンバーは
$12$
である。

解答セ：１, ソ：２

また、$12$は$24$の倍数じゃないから、図Ｄのように、$R$には含まれない。

図の固定

なので、
$12\not\in R$
である。

解答タ：４

$\subset$，$\supset$は、集合同士の場合に使う。
この問題の場合、$12$は集合ではなくメンバー（要素）なので、
$12\subset R$
は不適。

最初に、反例について復習しておこう。

命題が偽であることを証明するには、反例を一つあげればよい。
このことについて、簡単な命題を例に考えてみよう。

この命題を集合で表すと、
仮定：偶数
結論：奇数
なので、ベン図は図Ｅのようになる（図中、緑が仮定の集合，斜線部が結論の集合）。

この命題は偽で、反例は例えば２だ。
この反例の２は、図Ｅでは赤い点にあたる。

この命題を集合で表すと、
仮定：偶数
結論：３の倍数
なので、ベン図は図Ｆのようになる（図中、緑が仮定の集合，斜線部が結論の集合）。

この命題は偽で、反例は例えば２だ。
この反例の２は、図Ｆでは赤い点にあたる。

この命題を集合で表すと、
仮定：偶数
結論：４の倍数
なので、ベン図は図Ｇのようになる（図中、緑が仮定の集合，斜線部が結論の集合）。

この命題は偽で、反例は例えば２だ。
この反例の２は、図Ｇでは赤い点にあたる。

以上から、仮定の集合と結論の集合がどのような関係にあっても、反例とは
仮定の集合に含まれて結論の集合には含まれないメンバー（要素）であることが分かる。

復習より、選択肢のうち、$12$が
仮定の集合に含まれて結論の集合には含まれないものを探せばよい。

図Ｈ

⓪ 図Ｈで、
仮定の$p$かつ$q$は緑の部分
結論の$\overline{r}$は斜線の部分
$12$の赤い点は仮定にも結論にも含まれているから、反例ではない。

図Ｉ

① 図Ｉで、
仮定の$p$または$q$は緑の部分
結論の$\overline{r}$は斜線の部分
$12$の赤い点は仮定にも結論にも含まれているから、反例ではない。

図Ｊ

② 図Ｊで、
仮定の$r$は緑の部分
結論の$p$かつ$q$は斜線の部分
$12$の赤い点は仮定に含まれていないし、結論に含まれているから、反例ではない。

図Ｋ

③ 図Ｋで、
仮定の$p$かつ$q$は緑の部分
結論の$r$は斜線の部分
$12$の赤い点は仮定に含まれていて結論には含まれていないから、これが反例だ。

解答チ：３