まずは、三角形の各辺に内分点があって、内分比を求める問題。
見るからにチェバの定理やメネラウスの定理を使う問題だ。

△$\mathrm{ABC}$にチェバの定理を使って、
$\dfrac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}}\cdot\dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{BD}}\cdot\dfrac{\mathrm{EA}}{\mathrm{CE}}=1$
より
$\dfrac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}}\cdot\dfrac{1}{7}\cdot\dfrac{7}{1}=1$
$\dfrac{\mathrm{GB}}{\mathrm{AG}}=1$
である。

解答ア：１

よって、点$\mathrm{G}$は辺$\mathrm{AB}$の中点だ。

また、△$\mathrm{ABD}$にメネラウスの定理を使って、
$\dfrac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}\cdot\dfrac{\mathrm{CB}}{\mathrm{DC}}\cdot\dfrac{\mathrm{GA}}{\mathrm{BG}}=1$
より
$\dfrac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}\cdot\dfrac{8}{1}\cdot\dfrac{1}{1}=1$
$\dfrac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}=\dfrac{1}{8}$
である。

解答イ：１, ウ：８

よって、点$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{AD}$を$8:1$に内分する点だ。

さらに、△$\mathrm{ACG}$にメネラウスの定理を使って、
$\dfrac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}}\cdot\dfrac{\mathrm{EA}}{\mathrm{CE}}\cdot\dfrac{\mathrm{BG}}{\mathrm{AB}}=1$
より
$\dfrac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}}\cdot\dfrac{7}{1}\cdot\dfrac{1}{2}=1$
$\dfrac{\mathrm{FC}}{\mathrm{GF}}=\dfrac{2}{7}$
である。

解答エ：２, オ：７

よって、点$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{CG}$を$2:7$に内分する点だ。

ここまでで分かったことを図Ａに書き込むと、図Ｂができる。

図Ｂで、△$\mathrm{BFG}$（緑の三角形）と△$\mathrm{CDG}$（斜線の三角形）の面積比を求める。

△$\mathrm{BCG}$（赤い三角形）を基準にして考えよう。

$\mathrm{CG}$を底辺と考えると、緑の三角形は、赤い三角形と比べて、
底辺は$\dfrac{7}{7+2}=\dfrac{7}{9}$ 高さは等しい なので、面積は
△$\mathrm{BFG}$（緑の三角形）$=\dfrac{7}{9}$赤い三角形
となる。

また、$\mathrm{BC}$を底辺と考えると、斜線の三角形は、赤い三角形と比べて
底辺は$\dfrac{1}{7+1}=\dfrac{1}{8}$ 高さは等しい なので、面積は
△$\mathrm{CDG}$（斜線の三角形）$=\dfrac{1}{8}$赤い三角形
となる。

よって、
$\dfrac{\triangle \mathrm{CDG}\text{の面積}}{\triangle \mathrm{BFG}\text{の面積}}=\dfrac{\cfrac{1}{8}\text{赤い三角形}}{\cfrac{7}{9}\text{赤い三角形}}$

途中式

$$ \begin{align} \phantom{\dfrac{\triangle \mathrm{CDG}\text{の面積}}{\triangle \mathrm{BFG}\text{の面積}}}&=\dfrac{\cfrac{1}{8}}{\cfrac{7}{9}}\\ &=\dfrac{1}{8}\cdot\dfrac{9}{7}\\ \end{align} $$

$\phantom{\dfrac{\triangle \mathrm{CDG}\text{の面積}}{\triangle \mathrm{BFG}\text{の面積}}}=\dfrac{9}{56}$
である。

解答カ：９, キ：５, ク：６

４点$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$が同一円周上にあるとき、図は図Ｄのようになる。

このとき、方べきの定理より、
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AG}=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AF}$式Ａ
となる。

ここで、
問題文より
$\mathrm{FD}=1$ イウより
$\mathrm{FD}:\mathrm{AF}=1:8$ なので、
$\mathrm{AD}=9$ $\mathrm{AF}=8$ となる。

これを式Ａに代入して、
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AG}=9\cdot 8$式Ａ'
とかける。

また、
アより $\mathrm{GB}=\mathrm{AG}$ なので、
$\mathrm{AG}=\dfrac{1}{2}\mathrm{AB}$ だから、式Ａ'はさらに
$\mathrm{AB}\cdot\dfrac{1}{2}\mathrm{AB}=9\cdot 8$
より
$$ \begin{align} \mathrm{AB}^{2}&=9\cdot 8\cdot 2\\ &=3^{2}\cdot 4^{2} \end{align} $$ となる。

ここで、$0\lt\mathrm{AB}$なので、
$$ \begin{align} \mathrm{AB}&=3\cdot 4\\ &=12 \end{align} $$ である。

解答ケ：１, コ：２

ここで、$\mathrm{AE}=3\sqrt{7}$とすると、
$\mathrm{AE}:\mathrm{AC}=7:8$
なので、
$\mathrm{AC}=\dfrac{8}{7}\cdot 3\sqrt{7}$
となるから、

$$ \begin{align} \mathrm{AE}\cdot \mathrm{AC}&=3\sqrt{7}\times\dfrac{8}{7}\cdot 3\sqrt{7}\\ &=3\times 8\cdot 3\\ &=9\cdot 8\class{tex_formula}{式Ｂ}\\ &=72 \end{align} $$ である。

解答サ：７, シ：２

したがって、式Ａ'$=$式Ｂなので、
$\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AG}=\mathrm{AE}\cdot \mathrm{AC}$
だから、方べきの定理の逆より、点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{G}$は同一円周上にある（図Ｅ）。

このとき、$\angle \mathrm{AEG}$（図Ｅの赤い角）と等しい角をさがす。

四角形$\mathrm{BCEG}$（緑の四角形）は円に内接するので、
青い角$+$黄色い角$=180^{\circ}$
である。
さらに
赤い角$+$黄色い角$=180^{\circ}$
なので
赤い角$=$青い角
だ。

以上より、
$\angle \mathrm{AEG}$（赤い角）$=\angle \mathrm{ABC}$（青い角）
となる。

解答ス：２