大学入試センター試験 2020年(令和2年) 本試 数学ⅠA 第4問 解説

(1)

問題文中の
$100x-x=236.\dot{3}\dot{6}-2.\dot{3}\dot{6}$
を計算すると、
$99x=234$
より
$x=\displaystyle \frac{234}{99}$
$x$$\displaystyle=\frac{26}{11}$
となる。

解答ア:2, イ:6, ウ:1, エ:1

(2) オ~ク

オカキクについては(1)がヒントになっている。
(1)と同じように計算しよう。

問題文中の
$49y-y=2ab.\dot{a}\dot{b}_{(7)}-2.\dot{a}\dot{b}_{(7)}$
より
$48y=2ab_{(7)}-2_{(7)}$
$y=\displaystyle \frac{2ab_{(7)}-2_{(7)}}{48}$式B
とかける。

オカキクの式を見ると、$(7)$の表示がないので、10進法だ。
なので、式Bの分子を10進法で表す。

$2ab_{(7)}=2\cdot 7^{2}+a_{(7)}\cdot 7^{1}+b_{(7)}\cdot 7^{0}$式C
だけど、
$a_{(7)}=a_{(10)}$
$b_{(7)}=b_{(10)}$
なので、式Cは
$2ab_{(7)}=2\cdot 7^{2}+a\cdot 7^{1}+b\cdot 7^{0}$
        $=2\cdot 49+$$7\times a+b$式C'
となる。

アドバイス

進法の変換については、ここでは説明しない。
解説はこのページを参照。

よって、式Bの分子は
$2ab_{(7)}-2_{(7)}=2\cdot 49+7\times a+b-2$
              $=96+7\times a+b$
なので、式Bは
$y=\displaystyle \frac{96+7\times a+b}{48}$式B'
と表せる。

解答オ:9, カ:6, キ:4, ク:8

ここで、
$7a+b=A$式D
とおくと、式B'は
$y=\displaystyle \frac{96+A}{48}$式E
とかける。

(2) ケ~タ 解法1

(i)

まず、式Dの
$A$
がどんな数か考えよう。

$a$,$b$は$0$以上$6$以下の自然数なので、$7a+b=A$は自然数。

また、
$0\leqq a\leqq 6$,$0\leqq b\leqq 6$
なので、
$7\cdot 0+0\leqq 7a+b\leqq 7\cdot 6+6$
より
$0\leqq A\leqq 48$式F
である。

さらに、$a=b$のときを考えると、$A$は
$A=7a+a$
$A$$=8a$
になるけど、問題文より$a\neq b$なので、これは不適。
当然、式Fの両端の$0$と$48$も不適だ。

よって、$A$は、
$1\leqq A\leqq 47$の自然数で、$8$の倍数を含まない式G
ことが分かる。


いま求めなきゃいけないのは、約分すると$\displaystyle \frac{\text{奇数}}{4}$になる$y$だ。
なので、式Eの右辺の分母を$4$にしよう。

式Eの右辺の分母分子を$12$で割って、
$y=\displaystyle \frac{8+\frac{A}{12}}{4}$

この分子が奇数なので、
$8+\displaystyle \frac{A}{12}=$奇数
より
$\displaystyle \frac{A}{12}=$奇数$-8$
$A=12($奇数$-8)$
奇数-偶数は奇数なので、
$ A=12\times$奇数
となるから、$A$が$12$の奇数倍になる場合を見つければよい。

式Gより、
$1\leqq A\leqq 47$
なので、この範囲に含まれる$12$の倍数は
$12$,$24$,$36$
の3つ。
このうち、$24$は$12$の偶数倍だし、$8$の倍数でもあるので不適。
よって、求める場合は
$A=12$,$36$
だ。

これを式Eに代入して、
$y=\displaystyle \frac{96+12}{48}$,$\displaystyle \frac{96+36}{48}$
より、求める$y$は
$y=\displaystyle \frac{9}{4}$,$\displaystyle \frac{11}{4}$
である。

解答ケ:9, コ:1, サ:1


上の計算より、$y=\displaystyle \frac{11}{4}$になるのは$A=36$のとき。
よって、式Dより
$7a+b=36$
のとき。

解答シ:3, ス:6


このときの$a$,$b$を求める。

今までの計算を振り返ってみると、$7\times a+b$は、式C'の赤い部分だ。
これは、式C'の左辺の
$ab_{(7)}$
の部分にあたる。

つまり、
$7a+b=ab_{(7)}$
とかけるから、$7a+b=36$のときの$a$,$b$は、$36$を$7$進法で表したときの上から1桁目と2桁目だ。

というわけで、$36$を$7$進法で表そう。

$36$を$7$で割って、
$36\div 7=5\ldots 1$
より、
$36=51_{(7)}$
となる。

アドバイス

進法の変換については、ここでは説明しない。
解説はこのページを参照。

よって、$y=\displaystyle \frac{11}{4}$のとき、
$\left\{\begin{array}{l}
a=5\\
b=1
\end{array}\right.$
である。

解答セ:5, ソ:1


(ii)

まず、$y-2$を求めよう。

式Eの両辺から$2$を引いて、
$y-2=\displaystyle \frac{96+A}{48}-2$
より
$y-2=\displaystyle \frac{96+A}{48}-\frac{96}{48}$
$y-2$$\displaystyle=\frac{A}{48}$
とかける。

この右辺を約分して、分子が$1$になる場合を探す。
つまり、$A$が$48$の約数になるときを探せばよい。

$48$は
$48=2^{4}\cdot 3$
と素因数分解できるので、約数は
$2^{0}\cdot 3^{0}=1$
$2^{1}\cdot 3^{0}=2$
$2^{2}\cdot 3^{0}=4$
$2^{3}\cdot 3^{0}=8$×
$2^{4}\cdot 3^{0}=16$×
$2^{0}\cdot 3^{1}=3$
$2^{1}\cdot 3^{1}=6$
$2^{2}\cdot 3^{1}=12$
$2^{3}\cdot 3^{1}=24$×
$2^{4}\cdot 3^{1}=48$×
の$10$個ある。

このうち、式Gの$1\leqq A\leqq 47$に含まれない$48$は不適。(×部分)
また、$A$は$8$の倍数ではないので、$8$、$16$,$24$も不適。(×部分)

以上より、$y-2$が、分子が$1$,分母が2以上の整数に約分できるのは、$A$が
$1$,$2$,$4$,$3$,$6$,$12$
のときの6個である。

解答タ:6

(2) ケ~タ 解法2

頭を使わずに手を使う方法もある。

式Dより
$7a+b=A$
で、
$a$,$b$は$0$以上$6$以下の自然数 かつ $a\neq b$
なので、すべての$A$を求めると表Aができる。

表A
$a$
$0$$1$$2$$3$$4$$5$$6$
$b$$0$$7$ $14$ $21$ $28$ $35$ $42$
$1$$1$$15$ $22$ $29$$36$ $43$
$2$$2$ $9$$23$ $30$ $37$ $44$
$3$$3$ $10$ $17$$31$ $38$ $45$
$4$$4$ $11$ $18$ $25$$39$ $46$
$5$ $5$$12$ $19$ $26$ $33$$47$
$6$$6$ $13$ $20$ $27$ $34$ $41$

(i)

いま求めなきゃいけないのは、$y$を約分すると、分子が奇数で分母が$4$になるもの。
なので、式Eの右辺の分母を$4$にしよう。

式Eの右辺の分母分子を$12$で割って、
$y=\displaystyle \frac{8+\frac{A}{12}}{4}$

この分子が奇数なので、
$8+\displaystyle \frac{A}{12}=$奇数
より
$\displaystyle \frac{A}{12}=$奇数$-8$
$A=12($奇数$-8)$
奇数-偶数は奇数なので、
$ A=12\times$奇数
となるから、$A$が$12$の奇数倍になる場合を見つければよい。

表Aより、$A$が$12$の奇数倍になるのは、緑の部分の2つで、
$A=12$,$36$
だ。

これを式Eに代入して、
$y=\displaystyle \frac{96+12}{48}$,$\displaystyle \frac{96+36}{48}$
より、求める$y$は
$y=\displaystyle \frac{9}{4}$,$\displaystyle \frac{11}{4}$
である。

解答ケ:9, コ:1, サ:1


上の計算より、$y=\displaystyle \frac{11}{4}$になるのは$A=36$のとき。
よって、式Dより
$7a+b=36$
のとき。

解答シ:3, ス:6


このときの$a$,$b$は、表Aより、
$\left\{\begin{array}{l}
a=5\\
b=1
\end{array}\right.$
である。

解答セ:5, ソ:1


(ii)

また、$y-2$は、式Eの両辺から$2$を引いて、
$y-2=\displaystyle \frac{96+A}{48}-2$
より
$y-2=\displaystyle \frac{96+A}{48}-\frac{96}{48}$
$y-2$$\displaystyle=\frac{A}{48}$
とかける。

この右辺を約分して、分子が$1$になる場合を探す。
つまり、$A$が$48$の約数になるときを探せばよい。

$48$は
$48=2^{4}\cdot 3$
と素因数分解できるので、約数は
$2^{0}\cdot 3^{0}=$$1$
$2^{1}\cdot 3^{0}=$$2$
$2^{2}\cdot 3^{0}=$$4$
$2^{3}\cdot 3^{0}=8$
$2^{4}\cdot 3^{0}=16$
$2^{0}\cdot 3^{1}=$$3$
$2^{1}\cdot 3^{1}=$$6$
$2^{2}\cdot 3^{1}=$$12$
$2^{3}\cdot 3^{1}=24$
$2^{4}\cdot 3^{1}=48$
の$10$個ある。

このうち、表Aに含まれるのは、赤文字の6個。
よって、求める$y$は
6個
ある。

解答タ:6