ゲームの終了時に持ち点が$4$なので、５回投げて持ち点が$4$になる確率を考える。
つまり、５回投げて、
表が３回 裏が２回 出たときを考える。

ただし、(2)より、最初の３回で
表が１回 裏が２回 出てしまうとその時点で終了だから、これは除外しよう。
つまり、最初の３回で
表が３回パターンＡ のときと、
表が２回 裏が１回 パターンＢ
のときだけを考えることにする。

パターンＡ

パターンＡは、最初の３回で
表が３回 出るとき。

このとき、４回目と５回目では
裏が２回 出ないといけない。

よって、確率は
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{3}\times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2^{5}}$式Ａ
である。

パターンＢ

パターンＢは、最初の３回で
表が２回 裏が１回 出るとき。

このとき、４回目と５回目では
表が１回 裏が１回 出ないといけない。

よって、確率は
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\cdot {}_{3}\mathrm{C}_{2}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot {}_{2}\mathrm{C}_{1}$
$\displaystyle =\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)\cdot {}_{3}\mathrm{C}_{1}\times\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot {}_{2}\mathrm{C}_{1}$
$=\displaystyle \frac{3\times 2}{2^{5}}$
$=\displaystyle \frac{6}{2^{5}}$式Ｂ
である。

以上より、持ち点が$4$である確率は、式Ａと式Ｂをたして
$\displaystyle \frac{1}{2^{5}}+\frac{6}{2^{5}}=\frac{7}{2^{5}}$
             $=\displaystyle \frac{7}{32}$
である。

解答コ：７, サ：３, シ：２

復習の事象$B$にあたるのは、２回終了時に持ち点が$1$であること。
なので、事象$A\cap B$は、２回終了時に$1$点で、ゲーム終了時に$4$点である場合だ。
ちょっと面倒だけど、この確率$P(A\cap B)$を計算する。

２回終了時に持ち点が$1$であるためには、最初の２回で
表が１回 裏が１回 出ないといけない。

なので、その確率は、
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot {}_{2}\mathrm{C}_{1}=\frac{2}{2^{2}}$式Ｄ
である。

(3)で考えたように、５回終了時に持ち点が$4$になるためには、
表が３回 裏が２回 出ないといけない。

ここまでで、最初の２回は
表が１回 裏が１回 ３回目は
表が１回 出ているので、４回目・５回目には
表が１回 裏が１回 出ないといけない。

なので、４回目・５回目の確率は、式Ｄと同じ
$\displaystyle \frac{2}{2^{2}}$式Ｆ
である。

２回投げ終わった状態なので、表を書こう。
表中の数字は持ち点だ。

表Ａのマスは４つで、すべて同じ確率で起こる。
また、$-2$点のマスは１つ。
なので、確率は
$\displaystyle \frac{-2\text{点のマス}}{\text{すべてのマス}}=\frac{1}{4}$
である。

解答ウ：１, エ：４

同様に、持ち点が$1$になる確率は
$\displaystyle \frac{1\text{点のマス}}{\text{すべてのマス}}=\frac{2}{4}$
                  $=\displaystyle \frac{1}{2}$
である。

解答オ：１, カ：２

持ち点が$0$になるのは、
表が出る回数のちょうど２倍、裏が出た ときだ。
よって、３回投げ終わったとき。

解答キ：３

ここまでは、解法１と同じ。

今回は３回投げたときなので、３回の表裏の組合せだ。
三次元の表だから、紙の上に二次元で書くためにはちょっと工夫しないといけない。

緑の文字の部分は、表Ａの４つのマスを一行に並べたものだ。

表Ｂのマスは８つで、すべて同じ確率で起こる。
また、$0$点は青いマスで３つ。
なので、確率は
$\displaystyle \frac{0\text{点のマス}}{\text{すべてのマス}}=\frac{3}{8}$
である。

解答ク：３, ケ：８

次は５回投げたときなので、５回の表裏の組合せだ。
五次元の表ということで、樹形図とあんまり変わらなくなってきた。
でも、せっかくここまで来たし、こんな方法もあるという紹介なので、最後まで表で解いてみよう。

表Ｂの８つのマスを横に、表Ａの４つのマスを縦に並べて、表Ｃをつくる。
青文字の部分が 表Ｂの８つのマスを並べたもの、緑の文字の部分が 表Ａの４つのマスを並べたものだ。

この表Ｃに、５回終わった時点での持ち点を書き込むと、表Ｄができる。

何も書いていないマスは、３回投げた時点で持ち点が$0$になって終了した部分。
この部分は表を作らないという方法もあるけど、ここでは、全てのマスが同じ確率になり，かつ全てのマスの確率の和が$1$になるようにするために、空白のマスを作った。
同じ理由で、３回目の持ち点に３つずつある$3$と$0$を１列にまとめたり、４・５回目の持ち点の２つの$1$を１行にまとめたりはしなかった。

表Ｄのマスは32個で、すべて同じ確率で起こる。
また、$4$点のマスは緑の$7$つ。
なので、確率は
$\displaystyle \frac{4\text{点のマス}}{\text{すべてのマス}}=\frac{7}{32}$
である。

解答コ：７, サ：３, シ：２

最初に条件付き確率の復習をすると、

だった。

復習より、表Ｄで$4$点のマスを全事象と考える。
つまり、表Ｄには緑のマスしかなくて、他のマスは存在しないものとして考える。
この場合、全事象は
７マス式Ｈ
ある。

また、２回終わった時点での持ち点が$1$であるのは、表Ｄの赤で囲んだ部分。
だけど、緑のマス以外は存在しないので、これにあてはまるのは赤文字の
４マス式Ｉ
だ。

確率$=\displaystyle \frac{\text{確率を求める事象}}{\text{すべての事象}}$
なので、式Ｉを式Ｈで割って、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{4}{7}$
である。

解答ス：４, セ：７

２回投げ終わって持ち点が$-2$であるのは、図Ｅのグレーの部分で、１通り。
左から２列目は確率が$\displaystyle \frac{1}{2^{2}}$なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}$
である。

解答ウ：１, エ：４

また、２回投げ終わって持ち点が$1$であるのは、図Ｅのオレンジの部分で、２通り。
左から２列目は確率が$\displaystyle \frac{1}{2^{2}}$なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{2^{2}}\cdot 2=\frac{1}{2}$
である。

解答オ：１, カ：２

図Ｅ中で持ち点が$0$なのは、左から３列目の青い部分だけ。
なので、持ち点が$0$になることができるのは
３回
投げたときだけである。

解答キ：３

また、青い部分は３通りあって、３列目は確率が$\displaystyle \frac{1}{2^{3}}$なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{2^{3}}\cdot 3=\frac{3}{8}$
である。

解答ク：３, ケ：８

ゲームの終了時、つまり５回投げた状態は、左から５列目。
この列で持ち点が$4$なのは、緑の部分で７通りだ。
５列目は確率が$\displaystyle \frac{1}{2^{5}}$なので、求める確率は
$\displaystyle \frac{1}{2^{5}}\cdot 7=\frac{7}{32}$
である。

解答コ：７, サ：３, シ：２

ここで、条件付き確率の復習をすると、

復習より、図Ｅの緑の部分を全事象と考える。
この場合、全事象は
７通り式Ｊ
ある。

また、２回終わった時点での持ち点が$1$であるのは、図Ｅのオレンジの部分。
緑の○や□のうち、オレンジの部分を通るのは赤文字の
４通り式Ｋ
だ。

確率$=\displaystyle \frac{\text{確率を求める事象}}{\text{すべての事象}}$
なので、式Ｋを式Ｊで割って、求める条件付き確率は
$\displaystyle \frac{4}{7}$
である。

解答ス：４, セ：７