図の固定

円$C$と直線$\ell$が異なる２点で交わるためには、$C$の中心と$\ell$の距離が$5$未満であればよい。

直線$\ell$の式は
$x+y=a$
より
$x+y-a=0$
である。

よって、円$C$の中心（原点）と直線$\ell$の距離$d$は
$d=\displaystyle \frac{\left|0+0-a\right|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}$
$d$$\displaystyle =\frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}}$
とかける。

これが$5$未満なので、このときの$a$の範囲は
$\displaystyle \frac{\left|a\right|}{\sqrt{2}} \lt 5$
より
$\left|a\right| \lt 5\sqrt{2}$
$-5\sqrt{2} \lt a \lt 5\sqrt{2}$
となる。

解答ア：５, イ：２

このとき、交点のひとつを点$\mathrm{P}$とし、座標を
$(s,t)$
とする。

点$\mathrm{P}$は直線$\ell$上の点なので、
$s+t=a$
より、両辺を２乗して
$s^{2}+2st+t^{2}=a^{2}$式Ａ
とかける。

また、円$C$の式は、
$x^{2}+y^{2}=5^{2}$
だけど、点$\mathrm{P}$は円$C$上の点なので、
$s^{2}+t^{2}=5^{2}$式Ｂ
とかける。

式Ａから式Ｂを辺々ひくと、

より
$st=\displaystyle \frac{a^{2}-25}{2}$
である。

解答ウ：２, エ：５, オ：２