まず、四面体のイメージをつかもう。

図Ａのように、この四面体のすべての辺は、1辺が$1$である立方体の面の対角線だ。
なので、四面体のすべての辺は等しいから、正四面体である。

で、図Ａはとても見にくい。
やっぱり四面体は$\mathrm{O}$が上にあって、面$\mathrm{ABC}$が水平なのが一番分かりやすい気がする。
ということで、見やすく書きかえたのが図Ｂだ。

$\mathrm{OA}$⊥$\mathrm{BC}$をベクトルで考えると、$\vec{\mathrm{OA}}\neq \vec{0}$，$\vec{\mathrm{BC}}\neq \vec{0}$なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$⊥$\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}\ \Leftrightarrow$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}=0$式Ａ
である。

いま、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\vec{a}$ $\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
      $=\vec{c}-\vec{b}$ なので、式Ａの赤い部分は
$\vec{a}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$
とかける。

これを変形すると
$\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
より
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$式Ｂ
となる。

式Ａの赤い部分を変形すると式Ｂになるので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$⊥$\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}\ \Leftrightarrow\ \vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$
だといえる。

よって、求める必要十分条件は
①
である。

解答ウ：１

で、ベクトルの問題なのに、(3)ではベクトルが全く出てこない。
これは、きっと、(2)で見つけた必要十分条件をベクトルの大きさとなす角を使って考えろということだ。
なので、内積をベクトルの大きさとなす角で表そう。

(2)より
$\mathrm{OA}$⊥$\mathrm{BC}\ \Leftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$
である。

赤い部分の
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}$
は、
$\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{\mathrm{b}}\right|\cos\angle \mathrm{AOB}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{c}\right|\cos\angle \mathrm{AOC}$
より
$\left|\vec{\mathrm{b}}\right|\cos\angle \mathrm{AOB}=\left|\vec{c}\right|\cos\angle \mathrm{AOC}$
$\mathrm{OB}\cos\angle \mathrm{AOB}=\mathrm{OC}\cos\angle \mathrm{AOC}$
と表せる。

選択肢のうち、この式が必ず成り立つのは
②
の$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$ かつ $\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}$ だ。

解答エ：２

(i)

オカの選択肢が全部$\mathrm{B}$を始点とするベクトルなので、$\mathrm{B}$を原点として考えよう。

$\mathrm{D}$は$\mathrm{OA}$の中点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{B}\mathrm{D}}=\frac{\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{B}\mathrm{O}}}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{B}\mathrm{D}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{B}\mathrm{O}}\right)$
とかける。

解答オ：０, カ：３

また、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}-\vec{\mathrm{B}\mathrm{O}}$
である。

なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{B}\mathrm{D}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\frac{1}{2}\left(\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{B}\mathrm{O}}\right)\cdot\left(\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}-\vec{\mathrm{B}\mathrm{O}}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{B}\mathrm{D}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|^{2}-\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{O}}\right|^{2}\right)$式Ｃ
となる。

ここで、四面体$\mathrm{OABC}$は正四面体なので、
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|=\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{O}}\right|$式Ｄ
より、式Ｃは
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{D}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=0$
である。

(ii)

(i)と同様の作業を、点$\mathrm{C}$を原点にしてやってみる。

$\mathrm{D}$は$\mathrm{OA}$の中点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}=\frac{\vec{\mathrm{C}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{C}\mathrm{O}}}{2}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\vec{\mathrm{C}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{C}\mathrm{O}}\right)$
とかける。

また、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{C}\mathrm{A}}-\vec{\mathrm{C}\mathrm{O}}$
である。

よって、
$\displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\frac{1}{2}\left(\vec{\mathrm{C}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{C}\mathrm{O}}\right)\cdot\left(\vec{\mathrm{C}\mathrm{A}}-\vec{\mathrm{C}\mathrm{O}}\right)$
$\displaystyle \vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\left|\vec{\mathrm{C}\mathrm{A}}\right|^{2}-\left|\vec{\mathrm{C}\mathrm{O}}\right|^{2}\right)$式Ｅ
となる。

四面体$\mathrm{OABC}$は正四面体なので、
$\left|\vec{\mathrm{C}\mathrm{A}}\right|=\left|\vec{\mathrm{C}\mathrm{O}}\right|$式Ｆ
より、式Ｅは
$\vec{\mathrm{C}\mathrm{D}}\cdot\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=0$
である。

解答キ：１

(4)より、式Ｄの
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|=\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{O}}\right|$
と、式Ｆの
$\left|\vec{\mathrm{C}\mathrm{A}}\right|=\left|\vec{\mathrm{C}\mathrm{O}}\right|$
が同時に成り立つとき、$\mathrm{OA}$と$\mathrm{BC}$は垂直になる。

よって、選択肢から、
$\mathrm{BA}=\mathrm{BO}$ かつ $\mathrm{CA}=\mathrm{CO}$
であるものを探せばよい。

これにあてはまるのは、
$\mathrm{OC}=\mathrm{AC}$ かつ $\mathrm{OB}=\mathrm{AB}$
の
⓪
である。

解答ク：０