大学入学共通テスト 2017年(平成29年) 試行調査 数学ⅡＢ 第１問 [4] 解説
(1)
問題の式を
$\left(x+\dfrac{1}{y}\right)\left(y+\dfrac{4}{x}\right)$式Ａ
とする。
アドバイス
ポイントは、解答Ａと解答Ｂの少なくとも一方は間違いなんだけれど、なぜ間違いか、ってことだ。
問題文中で花子さんが言っているように、どちらの解答も計算は間違えていない。
間違い部分を探すために、まず相加平均と相乗平均の関係の復習をしよう。
復習
正の実数$A$，$B$について、
$A+B\geqq 2\sqrt{AB}$
とかける。
（等号成立は$A=B$のとき）
復習より、間違い部分は、問題文に書かれていない
等号成立は$A=B$のとき
って部分じゃないかと予想ができる。
その方向で考えてみよう。
まず、解答Ａから。
式Ａが$8$になるのは、①，②より
$\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle x+\frac{1}{y}=2\sqrt{\frac{x}{y}}\\
\displaystyle y+\frac{4}{x}=4\sqrt{\frac{y}{x}}
\end{array}\right.$式Ｂ
のとき。
式Ｂが成り立つのは ①，②の等号が成立するときで、
$\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle x=\frac{1}{y}\\
\displaystyle y=\frac{4}{x}
\end{array}\right.$式Ｃ
の２つの式が両方とも成り立つとき。
式Ｃの２つの式の分母を払うと
$\left\{\begin{array}{l}
xy=1\\
xy=4
\end{array}\right.$
となるので、この両方の式を同時に満たす$x$，$y$の値は存在しない。
なので、式Ａの値が、解答Ａの最小値である
$8$
になることはない。
おぉ。いきなり間違いか所を見つけてしまった。
なので、シは、上の説明と同じ内容の
②
が当てはまる。
解答シ：２
別解
上の考え方をしない場合、選択肢をひとつずつ検討することになる。
⓪
$xy+\displaystyle \frac{4}{xy}=4$を満たす$x$，$y$の値がない場合、
$xy+\displaystyle \frac{4}{xy}\neq 4$式Ｄ
になる。
このとき、解答Ｂの１行目より、
式Ａ$=$$xy+\displaystyle \frac{4}{xy}$$+5$
だけど、この式の赤い部分は$4$にはならないので、
式Ａ$\neq 9$
といえる。
これは、問題文中の太郎さんの発言の
「$x=2$，$y=1$のときの値は$3\times 3=9$になる」
と矛盾する。
これに気づけば、計算しなくても⓪は誤りであることが分かる。
別解
気づかなければ、計算だ。
$xy+\displaystyle \frac{4}{xy}=4$は解答Ｂの３行目で、この式が成り立つのは、復習より$xy=\displaystyle \frac{4}{xy}$のとき。
この
$xy=\displaystyle \frac{4}{xy}$
の両辺に$xy$をかけて分母を払うと、
$(xy)^{2}=4$
より
$xy=\pm 2$
である。
$x$，$y$は正の実数なので、$xy=2$である$x$，$y$の値は無数に存在する。
よって、⓪は誤り。
①
$x+\displaystyle \frac{1}{y}=2\sqrt{\frac{x}{y}}$は、解答Ａの①。
$xy+\displaystyle \frac{4}{xy}=4$は、解答Ｂの途中式。
この両方を満たす$x$，$y$の値があってもなくても、それぞれの解答の正誤には関係ない。
なので、計算するまでもなく、誤り。
②
$x+\displaystyle \frac{1}{y}=2\sqrt{\frac{x}{y}}$は解答Ａの①で、この式が成り立つのは、復習より$x=\displaystyle \frac{1}{y}$のとき。
$y+\displaystyle \frac{4}{x}=4\sqrt{\frac{y}{x}}$は解答Ａの②で、この式が成り立つのは、復習より$y=\displaystyle \frac{4}{x}$のとき。
よって、この両方の式が成り立つのは、
$\left\{\begin{array}{l}
x=\frac{1}{y}\\
y=\frac{4}{x}
\end{array}\right.$式Ｃ
の両方が成り立つとき。
式Ｃの２つの式の分母を払うと
$\left\{\begin{array}{l}
xy=1\\
xy=4
\end{array}\right.$
となるので、この両方の式を同時に満たす$x$，$y$の値は存在しない。
よって、②は正しい。
③
②での計算より、③は誤り。
以上より、シに当てはまるのは
②
である。
解答シ：２
(2)
(1)より、解答Ａは①と②が同時に成り立たないので、
式Ａ$=8$
にはならない。
一方、解答Ｂは
$xy+\displaystyle \frac{4}{xy}=4$
を満たす$x$，$y$の値が存在するから、最小値の
式Ａ$=9$
は存在する
よって、式Ａの最小値は、解答Ｂの
$9$
である。
解答：ス：９