大学入学共通テスト 2017年(平成29年) 試行調査数学ⅡＢ第２問解説

(1)

問題文中のグラフより、$y=S(x)$のグラフは$x$軸と
$(-1,0)$で交わる $(2,0)$で接する

なので、方程式$S(x)=0$は
$x=0$の解をもつ $x=2$の重解をもつことが分かる。

このことから、$p$を実数として、$S(x)$は
$S(x)=p(x+1)(x-2)^{2}$式Ａ
とかける。

また、$y=S(x)$は
$(0,4)$
を通るので、これを式Ａに代入して、
$p(0+1)(0-2)^{2}=4$
より
$p=1$
である。

よって、$S(x)$の式は
$S(x)=(x+1)(x-2)^{2}$式Ａ'
であることが分かる。

解答ア：１, イ：２, ウ：２

ここで、定積分の性質を思い出すと、

復習

$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)dx=0$

だった。

復習より、
$S(a)=\displaystyle \int_{a}^{a}f(t)dt=0$
である。

解答エ：０

問題文中のグラフより、$S(x)$が$0$なのは
$S(-1)$，$S(2)$
なんだけど、ここでは負の数の場合を問われているので、オカは
$-1$
である。

解答オ：－, カ：１

さらに、$S(x)$のグラフをもとに$f(x)$を考える。
まず、定積分と微分の関係を復習しよう。

復習

$\displaystyle \left[\int_{a}^{x}f(t)dt\right]'=f(x)$

復習より、
$S'(x)=f(x)$
といえる。

よって、
$y=S(x)$が極値をとる$x=0$，$2$のとき、$f(x)=0$ $y=S(x)$が増加している$x \lt 0$，$2 \lt x$のとき、$f(x) \gt 0$ $y=S(x)$が減少している$0 \lt x \lt 2$のとき、$f(x) \lt 0$ だ。

解答キ：０, ク：２, ケ：０, コ：０, サ：２

以上から、$y=f(x)$のグラフは、
$\left\{\begin{array}{l} x \lt 0\text{のとき、}0 \lt y\\ x=0\text{のとき、}y=0\\ 0 \lt x \lt 2\text{のとき、}y \lt 0\\ x=2\text{のとき、}y=0\\ 2 \lt x\text{のとき、}0 \lt y \end{array}\right.$
なので、あてはまるグラフの形は
①
である。

解答シ：１

アドバイス

ここでは、問題の流れのままに解説した。
もちろん、式Ａ'を微分すれば$f(x)$の式ができるので、$f(x)$の式を求めてからグラフの特徴を考えることもできる。

(2)

以上から$y=S(x)$と$y=f(x)$の関係をまとめると、
$x=q$のとき$S(x)$が極値をとるなら、$f(q)=0$ $y=S(x)$が増加している区間では、$0 \lt f(x)$ $y=S(x)$が減少している区間では、$f(x) \lt 0$ である。

また、
$S(x)=\displaystyle \int_{0}^{x}f(t)dt$
なので、
$S(0)=0$
となる。

選択肢から、これに当てはまらないものを２つ選ぶ。
⓪～④を一つずつ確認しよう。

以下、
$y=S(x)$のグラフでは、赤い点は、傾きが$0$である点オレンジの部分は、$S(x)$が増加している$x$の範囲青い部分は、$S(x)$が増加している$x$の範囲 $y=f(x)$のグラフでは、赤い点は、$f(x)=0$である点オレンジの部分は、$0 \lt f(x)$である$x$の範囲青い部分は、$f(x) \lt 0$である$x$の範囲を表している。
なので、両方のグラフで色分けと赤い点の$x$座標が違っていれば、矛盾したグラフだ。