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平方根と式の値

$ab=\displaystyle \frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}=2$

解答ア：２

まず通分して、たし算。
$a+b=\displaystyle \frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)+\left(1-\sqrt{3}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}{\left(1+\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}$
$a+b$$=-2+2\sqrt{6}$
$a+b$$=2\left(-1+\sqrt{6}\right)$

解答イ：２, ウ：－, エ：１, オ：６

復習

この手の問題でよく使う変形の式がいくつかあるから、憶えておこう。
$a^{2}\pm b^{2}=(a\pm b)^{2}\mp 2ab$
$a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)^{3}-3ab(\pm a+b)$

なので、
$a^{2}+b^{2}=\left(a+b\right)^{2}-2ab$
$a^{2}+b^{2}$$=\left\{2\left(-1+\sqrt{6}\right)\right\}^{2}-2\cdot 2$
共通因数の$2^{2}$でくくって、
$a^{2}+b^{2}$$=2^{2}\left\{\left(-1+\sqrt{6}\right)^{2}-1\right\}$
$\{\}$内は$\mathrm{A}^{2}-\mathrm{B}^{2}=(\mathrm{A}+\mathrm{B})(\mathrm{A}-\mathrm{B})$の形なので、
$a^{2}+b^{2}$$=2^{2}\left(-1+\sqrt{6}+1\right)\left(-1+\sqrt{6}-1\right)$
$a^{2}+b^{2}$$=2^{2}\sqrt{6}\left(-2+\sqrt{6}\right)$
$a^{2}+b^{2}$$=2^{2}\cdot 2\left(-\sqrt{6}+3\right)$
$a^{2}+b^{2}$$=8\left(3-\sqrt{6}\right)$

解答カ：８, キ：３, ク６

アドバイス

このくらいの簡単な式なら展開してしまっても問題ないけど、もっと複雑な式の場合には展開すると大変だし、計算ミスも増える。因数分解中心の計算方法を身につけよう。

(1)より、
$a^{2}+b^{2}+4(a+b)=8\left(3-\sqrt{6}\right)+4\cdot 2\left(-1+\sqrt{6}\right)$
$a^{2}+b^{2}+4(a+b)$$=8\left(3-\sqrt{6}-1+\sqrt{6}\right)$
$a^{2}+b^{2}+4(a+b)$$=8\cdot 2=16$

解答ケ：１, コ：６

ケコより、
$a^{2}+b^{2}+4(a+b)-16=0$式Ａ
この式を変形して、サシスセソの式を作る。目標の式には$b$が含まれないので、$b$を消そう。

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文字係数の方程式・不等式

(1)より$ab=2$なので、$a\neq 0$、
よって $b=\displaystyle \frac{2}{a}$式Ｂ

式Ｂを式Ａに代入して、
$a^{2}+\left(\frac{2}{a}\right)^{2}+4\left(a+\frac{2}{a}\right)-16=0$
分母を払おう。両辺を$a^{2}$倍して、
$a^{4}+2^{2}+4\left(a^{3}+2a\right)-16a^{2}=0$
$a^{4}+4a^{3}-16a^{2}+8a+4=0$

解答サ：４, シ：１, ス：６, セ：８, ソ：４