表Ａより、
$a_{2}=6+9$
$a_{2}$$=15$

解答ア：１, イ：５

$a_{3}=a_{2}+(9+4)$
$a_{3}$$=28$

解答ウ：２, エ：８

階差数列の一般項は、等差数列の一般項の式より、
$9+(n-1)4=4n+5$

解答オ：４, カ：５

復習

階差数列からもとの数列の一般項を求める式は、
もとの数列を$\left\{a_{n}\right\}$
階差数列を$\left\{b_{n}\right\}$
とすると、
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \hspace{30px} (2\leqq n)$
だった。

なので、$2\leqq n$のとき
$a_{n}=6+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(4k+5)$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =6+4\cdot\frac{1}{2}(n-1)n+5(n-1)$
$a_{n}$$=6+2n^{2}-2n+5n-5$
$a_{n}$$=2n^{2}+3n+1$①
である。
これは$n=1$のときも成り立つ。

解答キ：２, ク：２, ケ：３, コ：１

$b_{2}$は、②に$n=1$を代入して、
$b_{2}=\displaystyle \frac{a_{1}}{a_{2}-1}b_{1}$
これに$a_{1}=6,\displaystyle \ a_{2}=15,\ b_{1}=\frac{2}{5}$を代入して、
$b_{2}=\displaystyle \frac{6}{15-1}\cdot\frac{2}{5}$
$b_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6\cdot 2}{14\cdot 5}$
$b_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3\cdot 2}{7\cdot 5}$
$b_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6}{35}$
である。

解答サ：６, シ：３, ス：５

次に③だけど、②と見比べると$a_{n}$や$a_{n+1}$が消えている。なので、代入して消そう。

①より、
$a_{n}=2n^{2}+3n+1$式Ａ
これに$n=n+1$を代入して、
$a_{n+1}=2(n+1)^{2}+3(n+1)+1$
$a_{n+1}$$=2n^{2}+4n+2+3n+3+1$
$a_{n+1}$$=2n^{2}+7n+6$式Ｂ

②に式Ａ・Ｂを代入して、
$b_{n+1}=\displaystyle \frac{2n^{2}+3n+1}{2n^{2}+7n+6-1}b_{n}$
$b_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2n^{2}+3n+1}{2n^{2}+7n+5}b_{n}$
$b_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+5)(n+1)}b_{n}$
$b_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2n+1}{2n+5}b_{n}$③
となる。

解答セ：２, ソ：１, タ：５

ここで、問題文は
$c_{n}=(2n+1)b_{n}$④
とおき、これを用いて③を変形せよという。
変形後の式を見ると$b_{n}$と$b_{n+1}$が消えているので、代入して消そう。

④より、
$b_{n}=\displaystyle \frac{c_{n}}{2n+1}$
$b_{n+1}=\displaystyle \frac{c_{n+1}}{2(n+1)+1}$
$b_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{c_{n+1}}{2n+3}$

これを③に代入すると、
$\displaystyle \frac{c_{n+1}}{2n+3}=\frac{2n+1}{2n+5}\cdot\frac{c_{n}}{2n+1}$
$\displaystyle \frac{c_{n+1}}{2n+3}=\frac{c_{n}}{2n+5}$
分母を払って、
$(2n+5)c_{n+1}=(2n+3)c_{n}$式Ｃ
となり、変形後の式ができる。

解答チ：５, ツ：３

⑤はちょっと悩むと思うけど、

アドバイス

マークシート試験で悩んだときは、上を見て、下を見る。つまり、これまでに解いたことを振り返り、それでも分からなければ先を読む。

今回は先を読もう。

$d_{n}=(2n+\text{テ})c_{n}$
とおくと、
$d_{n+1}=d_{n}$
になるらしい。
ここからテを逆算しよう。

$d_{n}=(2n+\text{テ})c_{n}$
$d_{n+1}=\{2(n+1)+\text{テ}\}c_{n+1}$
を
$d_{n+1}=d_{n}$
に代入して、
$\{2(n+1)+\text{テ}\}c_{n+1}=(2n+\text{テ})c_{n}$
$\{2n+(\text{テ}+2)\}c_{n+1}=(2n+\text{テ})c_{n}$
これを式Ｃと見比べると、
$\text{テ}=3$
であることが分かる。

解答テ：３

次は、$d_{1}$だ。
$d_{n}=(2n+3)c_{n}$
なので、
$d_{1}=(2\cdot 1+3)c_{1}$
$d_{1}$$=5c_{1}$

④より
$c_{n}=(2n+1)b_{n}$
なので、
$c_{1}=(2\cdot 1+1)b_{1}$
$c_{1}$$=3b_{1}$

問題文より$b_{1}=\displaystyle \frac{2}{5}$なので、さかのぼって代入していって、
$c_{1}=3\displaystyle \cdot\frac{2}{5}$
$d_{1}=5\displaystyle \cdot 3\cdot\frac{2}{5}$
$d_{1}$$=6$
である。

解答ト：６

以上より、$d_{1}=6,\ d_{n+1}=d_{n}$なので、
$d_{n}=6$