75
２次関数のグラフ(平方完成)

①を平方完成して、
$y=x^{2}+2ax+a^{2}-a^{2}+3a^{2}-6a-36$
$y$$=(x+a)^{2}+2a^{2}-6a-36$
より、$G$の頂点の座標は
$\left(-a,\ 2a^{2}-6a-36\right)$ 式Ａ
である。

解答ア：－, イ：２, ウ：６, エ：３, オ：６

$G$と$y$軸との交点の$x$座標は$0$なので、①に$x=0$を代入して、
$p=3a^{2}-6a-36$式Ｂ

104
２次方程式の解法

$p=-27$のとき、
$3a^{2}-6a-36=-27$
なので、
$3a^{2}-6a-9=0$
$a^{2}-2a-3=0$
$(a-3)(a+1)=0$
$a=3,\ -1$
である。

解答カ：３, キ：－, ク：１

77
グラフの平行移動(1)

ケコは頂点の座標から考えよう。

$a=3$のとき、式Ａより、
$G$の頂点は$\left(-3,\ -36\right)$式Ｃ

$a=-1$のとき、式Ａより、
$G$の頂点は$\left(1,-28\right)$式Ｄ

式Ｄから式Ｃを引いて、
$(1,-28)-(-3,-36)=(4,8)$
となるので、
$x$軸方向に$4$
$y$軸方向に$8$
平行移動したものである。

解答ケ：４, コ：８

86
定義域に制限がある場合の最大・最小

次は、②の範囲での式Ｂの最大最小の問題である。
確認のために、式Ｂと②をもう一度書いておく。
$p=3a^{2}-6a-36$式Ｂ
$-3\leqq a\leqq 6$②

変数が$x,y$じゃなくて$p,a$になっているだけで、普通の２次関数の最大最小の問題だ。

式Ｂのグラフを描くと、図Ａのようになる。

図Ａより、

$p$は$a=1$のとき最小となる。
最小値は、式Ｂに$a=1$を代入して、$-39$

解答タ：１, チ：－, ツ：３, テ：９

$p$は$a=6$のとき最大となる。
最大値は、式Ｂに$a=6$を代入して、$36$

解答ト：６, ナ：３, ニ：６

130
２次関数のグラフとx軸の共有点の関係

最後は、
$G$が$x$軸と共有点を持つ条件Ａ
すべての共有点の$x$座標が$-1$より大きい条件Ｂ
をそれぞれ求め、数直線を描いて重なる部分が答えだ。

条件Ａはすでに解決しているので、条件Ｂを求めよう。
このタイプの問題は、決まった解き方をするので憶えておこう。

復習

ポイントは、条件に合うグラフを描いて、
境目（この場合は$x=-1$）の$y$座標に注目する グラフの軸が境目よりも右にあるか左にあるかを見る こと。

さっそくやってみよう。

図Ｂに、条件に合うグラフを描いた。条件Ａより$G$は$x$軸と共有点を持つので、そうでないグラフは描いてない。

図Ｂより、条件に合うグラフは、
境目（この場合は$x=-1$）の$y$座標が正条件Ｂ１
グラフの軸（この場合は$x=-a$）が境目より右条件Ｂ２
であることが分かる。

121
２次不等式の解法(1)

条件Ｂ１について、
①に$x=-1$を代入して、
$y=3a^{2}-8a-35$
これが正であればいいので、
$3a^{2}-8a-35 \gt 0$
$\left(3a+7\right)\left(a-5\right) \gt 0$
$a \lt -\displaystyle \frac{7}{3},\ 5 \lt a$式Ｃ

条件Ｂ２について、
$x=-a$が$x=-1$よりも右にあるので、
$-1 \lt -a$
$a \lt 1$式Ｄ

127
連立不等式の解法(２次)

この式Ｃ・Ｄと、
条件Ａより、$-3\leqq a\leqq 6$式Ｅ
の重なる部分が答え。

数直線を描くと、

となる。
図Ｃより、解は
$-3\displaystyle \leqq a \lt -\frac{7}{3}$
である。

解答ヌ：－, ネ：３, ノ：３, ハ：１, ヒ：－, フ：７, へ：３