142
正弦・余弦・正接

まず△ABCの図を描くのだけれど、その前に$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}=\frac{1}{4}$の意味を考えておこう。
$\cos$は、直角三角形で$\displaystyle \frac{\text{底辺}}{\text{斜辺}}$だった。なので、$\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{4}$なら、図Ａのような直角三角形が考えられる。
これをこの問題にあてはめて考えると、△ABCは図Ａの直角三角形を２個くっつけた、図Ｂの三角形であることが分かる。

図ができたところで、問題にかかろう。

図Ｂより、$\mathrm{AC}=4$

解答ア：４

160
余弦定理

三角形$\mathrm{ABC}$において、余弦定理より、
$\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\cdot\cos\angle \mathrm{BAC}$
$2^{2}=4^{2}+4^{2}-2\cdot 4^{2}\cdot\cos\angle \mathrm{BAC}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}=\frac{4^{2}+4^{2}-2^{2}}{2\cdot 4^{2}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{4+4-1}{2\cdot 4}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{7}{8}$

解答イ：７, ウ：８

142
三角比の相互関係(1)

$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$なので、
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=1$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{8^{2}-7^{2}}{8^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{(8-7)(8+7)}{8^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{15}{8^{2}}$
$0 \lt \sin\angle \mathrm{BAC}$なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}=\frac{\sqrt{15}}{8}$

解答エ：１, オ：５, カ：８

160
正弦定理

次は外接円の半径$R$だ。
三角形ABCに正弦定理を使って、
$\displaystyle \frac{a}{\sin\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}}=2R$
$2R=\displaystyle \frac{2}{\frac{\sqrt{15}}{8}}$
分母分子を$8$倍して、
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\cdot 8}{\sqrt{15}}$
$R=\displaystyle \frac{8}{\sqrt{15}}$
$R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8\sqrt{15}}{15}$

解答キ：８, ク：１, ケ：５, コ：１, サ：５

点がかなり増えたので、いったん図を整理した。（図Ｃ）

この部分は、解法が十分説明になるので、どんどん解いてゆく。

282
三角形の角の二等分線と比

$\mathrm{AE}$は$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線だから、
$\mathrm{AE}:\mathrm{CE}=\mathrm{BA}:\mathrm{BC}$
$\mathrm{AE}:\mathrm{CE}$$=4:2$
$\mathrm{AE}:\mathrm{CE}$$=2:1$
なので、
$\displaystyle \mathrm{AE}=4\cdot\frac{2}{2+1}$
$\displaystyle \mathrm{AE}$$\displaystyle =\frac{8}{3}$

解答シ：８, ス：３

△ABEで余弦定理を使うと、
$\mathrm{BE}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AE}^{2}-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{AE}\cdot\cos\angle \mathrm{BAE}$
$\displaystyle \mathrm{BE}^{2}$$\displaystyle =4^{2}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-2\cdot 4\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{7}{8}$
通分して、
$\displaystyle \mathrm{BE}^{2}$$\displaystyle =4^{2}\cdot\frac{3^{2}}{3^{2}}+\frac{8^{2}}{3^{2}}-\frac{2\cdot 4\cdot 7}{3}\cdot\frac{3}{3}$
共通因数を出して
$\displaystyle \mathrm{BE}^{2}$$\displaystyle =\frac{2\cdot 4}{3^{2}}\left(2\cdot 3^{2}+8-7\cdot 3\right)$
$\displaystyle \mathrm{BE}^{2}$$\displaystyle =\frac{2\cdot 4}{3^{2}}\cdot 5$
$\displaystyle \mathrm{BE}^{2}$$\displaystyle =\frac{4\cdot 10}{3^{2}}$

$0 \lt \mathrm{BE}$なので、
$\displaystyle \mathrm{BE}=\frac{2\sqrt{10}}{3}$

解答セ：２, ソ：１, タ：０, チ：３

$\mathrm{AD}$は$\angle \mathrm{BAE}$の二等分線だから、
$\mathrm{BD}:\mathrm{ED}=\mathrm{AB}:\mathrm{AE}$
$\displaystyle \mathrm{BD}:\mathrm{ED}$$\displaystyle =4:\frac{8}{3}$
$\mathrm{BD}:\mathrm{ED}$$=3:2$
なので、
$\displaystyle \mathrm{BD}=\frac{2\sqrt{10}}{3}\cdot\frac{3}{3+2}$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{10}}{5}$

解答ツ：２, テ：１, ト：０, ナ：５

まず、FAとFCについて考えよう。
三角形は△FAC（緑の斜線の三角形）を使うしかないから、∠FACと∠FCAの大小が分かればよい。

BFは∠ABEの二等分線なので、
∠FBA=∠FBC
同じ弧の円周角は等しいので、
∠FBA=∠FCA
∠FBC=∠FAC
以上より、図Ｅの●をつけた角はすべて等しい。
よって、
∠FAC=∠FCA
となるので、
FA=FC

次に、FAとFDについて考える。
三角形は△FAD（青い斜線の三角形）を使うしかないから、∠FADと∠FDAの大小が分かればよい。

AHは∠BACの二等分線なので、
∠BAH=∠CAH
∠CAH=○とすると、
$\angle \mathrm{FAD}=$○+●

△ABHに注目すると、
$\angle \mathrm{BAH}+\angle \mathrm{ABH}=90^{\circ}$
なので、
○+●+●$=90^{\circ}$

△DBHに注目すると、
$\angle \mathrm{BDH}+\angle \mathrm{DBH}=90^{\circ}$
$\angle \mathrm{DBH}=$●なので、
$\angle \mathrm{BDH}=$○+●

対頂角は等しいので、
$\angle \mathrm{FDA}=$○+●

よって、
∠FAD=∠FDA
となるので、
FA=FD