$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{K}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}$
なので、
$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}$$=(0,0,2)-(1,0,0)$
$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}$$=(-1,0,2)$式Ａ

解答ア：－, イ：１, ウ：０, エ：２

KLMNは平行四辺形なので、対辺は平行で長さが等しい。
なので、
$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$

解答オ：３

問題文から$\mathrm{M}(3,3,s)\text{、}\mathrm{N}(t,3,3)$なので、
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{N}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$=(t,3,3)-(3,3,s)$
$\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}$$=(t-3,0,3-s)$

これが$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}$と等しいので、式Ａより、
$(t-3,0,3-s)=(-1,0,2)$
から、
$\left\{\begin{array}{l}
s=1\\
t=2
\end{array}\right.$
である。

解答カ：１, キ：２

よって、$\mathrm{N}$の座標は
$(2,3,3)$
なので、$\mathrm{FG}$を
$1:2$
に内分する。

解答ク：２

ここまでで分かったことをまとめると、 $\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{M}\mathrm{N}}=(-1,0,2)$ $\mathrm{M}(3,3,1)$ $\mathrm{N}(2,3,3)$ これを使って$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}$、$\left|\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}\right|$、$\left|\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}\right|$を求める。

$\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}$
なので、
$\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}$$=(3,3,1)-(1,0,0)$
$\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}$$=(2,3,1)$

まず$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}$と$\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}$の内積だけど、
$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}=(-1,0,2)\cdot(2,3,1)$
$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}$$=-1\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot 1$
$\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}$$=0$
となり、$\mathrm{LK}$⊥$\mathrm{LM}$なので、KLMNは長方形である。

解答ケ：０

$\left|\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}\right|=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}+2^{2}}$
$\left|\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}\right|$$=\sqrt{5}$

解答コ：５

$\left|\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}\right|=\sqrt{2^{2}+3^{2}+1^{2}}$
$\left|\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}\right|$$=\sqrt{14}$

解答サ：１, シ：４

以上より、四角形KLMNの面積$S$は、
$S=\left|\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}\right|\times\left|\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}\right|$
$S$$=\sqrt{5}\times\sqrt{14}$
$S$$=\sqrt{70}$

解答ス：７, セ：０

図Ａに、平面αと点Pを描きたしてみた。
緑の平面がαだけど、ややこしくなるので$xy$平面より下の部分と$yz$平面より向こうの部分は省略してある。

復習

平面とベクトル$\vec{a}$が垂直
$\qquad\Leftrightarrow$
平面上のベクトル$\vec{b},\ \vec{c}$と$\vec{a}$が垂直
（$\vec{b}\neq\vec{0},\ \vec{c}\neq\vec{0},\ \vec{b}\nparallel\vec{c}$）
$\qquad\Leftrightarrow$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot\vec{c}=0$
だった。

なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}=0$

解答ソ：０

これを解こう。

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(p,q,r)$
より、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}=(p,q,r)\cdot(-1,0,2)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{K}}$$=-p+2r$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}=(p,q,r)\cdot(2,3,1)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{L}\mathrm{M}}$$=2p+3q+r$

これが$0$なので、
$\left\{\begin{array}{l}
-p+2r=0\\
2p+3q+r=0
\end{array}\right.$
上の式より、
$p=2r$式Ｂ

解答タ：２

これを下の式に代入して、
$4r+3q+r=0$
$q=-\displaystyle \frac{5}{3}r$式Ｃ

解答チ：－, ツ：５, テ：３

問題文は、さらに$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$⊥$\vec{\mathrm{P}\mathrm{L}}$を使えという。

まず$\vec{\mathrm{P}\mathrm{L}}$を求めよう。
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{L}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{L}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{L}}$$=(1,0,0)-(p,q,r)$
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{L}}$$=(1-p,-q,-r)$

これと$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$に式Ｂ・Ｃを代入して、
$\vec{\mathrm{P}\mathrm{L}}=\left(1-2r,\ \frac{5}{3}r,\ -r\right)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\left(2r,\ -\frac{5}{3}r,\ r\right)$式D

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$⊥$\vec{\mathrm{P}\mathrm{L}}$なので、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\cdot\vec{\mathrm{P}\mathrm{L}}=0$だから、
$(1-2r)\cdot 2r-\left(\frac{5}{3}r\right)^{2}-r^{2}=0$
両辺$3^{2}$倍して、
$18r-36r^{2}-25r^{2}-9r^{2}=0$
$18r-70r^{2}=0$
$9r-35r^{2}=0$
$r(9-35r)=0$
より、
$r=0,\displaystyle \ \frac{9}{35}$

$r=0$のとき、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=(0,0,0)$となるので、点Pは原点。
平面αは原点を通らないので、これは不適。
よって、
$r=\displaystyle \frac{9}{35}$式Ｅ

解答ト：９, ナ：３, ニ：５

もう少しだ。
式Ｅを式Ｄに代入して、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\left(2\cdot\frac{9}{35},\ -\frac{5}{3}\cdot\frac{9}{35},\ \frac{9}{35}\right)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$$=\left(\frac{3\cdot 6}{35},\ -\frac{3\cdot 5}{35},\ \frac{3\cdot 3}{35}\right)$
なので、
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|=\sqrt{\left(\frac{3\cdot 6}{35}\right)^{2}+\left(-\frac{3\cdot 5}{35}\right)^{2}+\left(\frac{3\cdot 3}{35}\right)^{2}}$
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|$$=\sqrt{\left(\frac{3}{35}\right)^{2}(6^{2}+5^{2}+3^{2})}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|$$\displaystyle =\frac{3}{35}\sqrt{70}$
である。

アドバイス

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}$を求めるとき、$y$成分の$-\displaystyle \frac{3\cdot 5}{35}$を約分してないところがポイント。
どうせ後で２乗して、$x$成分・$z$成分とたし算をするので、分母が同じになったところで約分をやめる。
$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|$ を求めるときも√の中は展開せず、まず因数分解。むだな計算はしないように。

解答ヌ：３, ネ：７, ノ：０, ハ：３, ヒ：５

さて、最後の設問だ。

図Ｃの赤い三角錐の体積を求めよう。

復習

三角錐の体積$V$は、
$V=\displaystyle \frac{1}{3}$×底面積×高さ
だった。

問題の指示通り、△LMN（赤い斜線の三角形）を底面とすると、底面積は四角形KLMNの半分なので、(1)より
底面積$=\displaystyle \frac{\sqrt{70}}{2}$

高さは$\left|\vec{\mathrm{O}\mathrm{P}}\right|$なので、
高さ$=\displaystyle \frac{3}{35}\sqrt{70}$

以上より、三角錐OLMNの体積$V$は、
$V=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{70}}{2}\cdot\frac{3}{35}\sqrt{70}$
$V$$=1$
である。

解答フ：１