大学入試センター試験 2014年(平成26年) 本試 数学ⅠＡ 第１問 [2] 解説

問題を解く準備

54
集合と要素

まず集合$U$について考えよう。

$5 \lt \sqrt{n} \lt 6$
なので、
$\sqrt{25} \lt \sqrt{n} \lt \sqrt{36}$
より、
$25 \lt n \lt 36$
となるから、
$U=\{26,27,28,29,30,31,32,33,34,35\}$

次に、集合$PQRS$についても整理しておこう。
集合$U$の要素で、$4,5,6,7$の倍数がそれぞれ集合$P,Q,R,S$なので、まとめると表Ａのようになる。

表Ａ
$U$ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
$P$ ○ ○
$Q$ ○ ○
$R$ ○
$S$ ○ ○

さて、表ができたところで問題を見よう。

(1)

表Ａより、要素は$10$個。

解答タ：１, チ：０

(2)

54
空集合 54
共通部分・和集合 55
補集合

表Ａを見ながら、ひとつずつ考えてゆこう。

０$P$と$R$は共通する要素がないので、空集合。

１$P$と$S$は$28$が共通する。

２$Q$と$R$は$30$が共通する。

３$P$と$\overline{Q}$は$28,\ 32$が共通する。

４$R$と$\overline{Q}$は共通する要素がないので、空集合。

以上より、空集合となるのは０,４のふたつ。

解答ツ：０, テ：４ （順不同）

(3)

54
包含関係

こういうややこしい集合は、頭を使うよりも手を使った方が早くて正確だったりする。なので、表Ａをもとに、ひとつずつ表を作ってみよう。

０

$U$ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
$P\cup R$ ○ ○ ○
$\overline{Q}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

より、$P\cup R\not\subset\overline{Q}$

１

$U$ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
$S$ ○ ○
$\overline{Q}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$S\cap\overline{Q}$ ○
$P$ ○ ○

より、$S\cap\overline{Q}\subset P$

２

$U$ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
$\overline{Q}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$\overline{S}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$\overline{S}\cap\overline{Q}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$\overline{P}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

より、$\overline{Q}\cap\overline{S}\not\subset\overline{P}$

３

$U$ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
$\overline{P}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$\overline{Q}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$\overline{P}\cup\overline{Q}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$S$ ○ ○

より、$\overline{P}\cup\overline{Q}\not\subset\overline{S}$

４

$U$ 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
$\overline{R}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$\overline{S}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$\overline{R}\cap\overline{S}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
$\overline{Q}$ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

より、$\overline{R}\cap\overline{S}\subset\overline{Q}$

以上より、当てはまるものは１,４。

解答ト：１, ナ：４ （順不同）