188
データの代表値

生徒５の英語の得点$\mathrm{A}$は、９人の英語の得点をすべてたすと、平均値の9倍になるから、
$9+20+18+18+\mathrm{A}+18+14+15+18=16\cdot 9$
$\mathrm{A}=14$
である。

解答ア：１, イ：４

復習

まず、分散の復習をしよう。
分散$s^{2}$は、
データの大きさを$n$
それぞれのデータを$x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ \ldots\ x_{n}$
平均値を$\overline{x}$
としたとき、
$s^{2}=\displaystyle \frac{1}{n}\left\{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+(x_{3}-\overline{x})^{2}+\right.$
            $\left.\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}\right\}$式Ａ
$s^{2}$$=\overline{x^{2}}-\left(\overline{x}\right)^{2}$式Ｂ
だった。

193
分散と標準偏差

今回は英語の得点も２ケタが多いし、2乗して平均値を出すのは大変なので、式Ｂよりも式Ａを使った方が計算が楽。
よって、
$\displaystyle \mathrm{B}=\frac{1}{9}\{(9-16)^{2}+(20-16)^{2}+(18-16)^{2}$
       $+(18-16)^{2}+(14-16)^{2}+(18-16)^{2}$
       $+(14-16)^{2}+(15-16)^{2}+(18-16)^{2}\}$
$\mathrm{B}$$=10$

解答ウ：１, エ：０, オ：０, カ：０

次は相関係数から$\mathrm{C}$と$\mathrm{D}$の関係式を作るのだけれど、その前にちょっと復習をしておこう。

復習

相関係数とは、

まず、共分散を$s_{xy}$とすると、
$s_{xy}=\displaystyle \frac{1}{n}\{(x_{1}-\overline{x})(y_{1}-\overline{y})+(x_{2}-\overline{x})(y_{2}-\overline{y})$＋
            $\cdots+(x_{n}-\overline{x})(y_{n}-\overline{y})\}$式Ｄ
$s_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}\cdot y_{k}-\overline{x}\cdot\overline{y}$

この共分散$s_{xy}$を、$x,\ y$それぞれの標準偏差の積で割った、
$r_{xy}=\displaystyle \frac{s_{xy}}{s_{x}\cdot s_{y}}$式Ｅ
が相関係数だった。

復習

標準偏差$s$は、分散を$s^{2}$とすると、
$s=\sqrt{s^{2}}$式Ｆ
だった。

式Ｄ中の$(x_{?}-\overline{x})$，$(y_{?}-\overline{y})$は値（この場合は得点）から平均値（この場合は平均点）を引いたものだけど、これを「偏差」という。
それぞれの生徒の英語と数学の偏差を求め、その積（これを偏差の交差積という）の平均値を求めると、これが共分散だ。
分かりやすいように、計算を表Ａにまとめた。

共分散$S_{xy}$は、表Ａの右端の列の平均値。
なので、
$S_{xy}=\displaystyle \frac{1}{9}\{20-2+4+14$
                 $+2(\mathrm{C}-15)-2(\mathrm{D}-15)+1\}$
$S_{xy}=\displaystyle \frac{1}{9}(2\mathrm{C}-2\mathrm{D}+37)$式Ｇ

表Ａ

	得点		偏差
	英語	数学	英語	数学	交差積
	$x$	$y$	$x-\overline{x}$	$y-\overline{y}$	$(x-\overline{x})(y-\overline{y})$
生徒１	9	15	$-7$	$0$	$0$
生徒２	20	20	$4$	$5$	$20$
生徒３	18	14	$2$	$-1$	$-2$
生徒４	18	17	$2$	$2$	$4$
生徒５	14	8	$-2$	$-7$	$14$
生徒６	18	C	$2$	$\mathrm{C}-15$	$2(\mathrm{C}-15)$
生徒７	14	D	$-2$	$\mathrm{D}-15$	$-2(\mathrm{D}-15)$
生徒８	15	14	$-1$	$-1$	$1$
生徒９	18	15	$2$	$0$	$0$

また、各教科の標準偏差は、
式Ｅより、
英語は、$s_{x}=\sqrt{10}$ 数学も、$s_{y}=\sqrt{10}$ なので、式Ｅより、相関係数$r_{xy}$は
$r_{xy}=\displaystyle \frac{\frac{1}{9}(2\mathrm{C}-2\mathrm{D}+37)}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}}$
$r_{xy}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\mathrm{C}-2\mathrm{D}+37}{90}$
である。

これが$0.500$になればいいので、
$\displaystyle \frac{2\mathrm{C}-2\mathrm{D}+37}{90}=0.500$
$2\mathrm{C}-2\mathrm{D}+37=0.500\times 90$
$2\mathrm{C}-2\mathrm{D}+37$$=45$
$2\mathrm{C}-2\mathrm{D}=8$
$\mathrm{C}-\mathrm{D}=4$式Ｈ
となる。

解答ケ：４

図Ｃ

199
相関関係

図Ｃの４つの相関図を見ると、黒い点はどの図でも同じ位置にあるけれど、赤い点の場所が違う。
なので、赤い点の確認をしよう。

まず、図中、５の赤い点を確認する。
$y$座標（数学の得点）は８で共通なので、表Ｂと見比べると、この点は生徒５を表している。
生徒５の英語の得点は14なので、１・２は正しくない。

残りの０・３で、７の赤い点を見ると、$x$座標（英語の得点）は14で共通なので、この点は生徒７を表している。
生徒７の英語の得点は14なので、３は正しくない。

以上より０が正しいと考えられるけど、一応一つ残った赤い点も確認しておこう、
この点は英語の得点が18なので、生徒３・４・６・９のどれか。
数学の得点から、生徒３・４・９は黒い点だと分かるから、赤い点は生徒６のデータだ。
生徒６の数学の得点は18なので、０の相関図は正しい。

解答セ：０

表Ｂより、生徒１～９の９人の英語の平均値が16なので、この９人の得点の和は
$16\times 9$
これに生徒10の英語の得点をたして、人数の10で割ればいいので、10人の平均値は
$\displaystyle \frac{16\cdot 9+6}{10}=15$

解答ソ：１, タ：５, チ：０

表Ｂより、生徒１～９の９人の数学の平均値が15なので、この９人の得点の和は
$15\times 9$
問題中の表より、生徒１～10の10人の数学の平均値が14なので、この10人の得点の和は
$14\times 10$
なので、生徒10の数学の得点$\mathrm{F}$は、
$\mathrm{F}=14\times 10-15\times 9$
$\mathrm{F}$$=5$

解答ツ：５

10人の英語の得点の分散$v$は、
$v=\displaystyle \frac{(\text{い})}{10}$式Ｉ
９人の得点の分散$v'$は、
$v'=\displaystyle \frac{(\text{い})}{9}$式Ｊ
よって、
$\displaystyle \frac{v'}{v}=\frac{\frac{(\text{い})}{9}}{\frac{(\text{い})}{10}}$
分母分子を$10\times 9$倍して
$\displaystyle \frac{v'}{v}$$\displaystyle =\frac{10(\text{い})}{9(\text{い})}$
$\displaystyle \frac{v'}{v}$$\displaystyle =\frac{10}{9}$
である。

解答ト：４

相関係数を考えるために、まず共分散から考えよう。
共分散は２教科の偏差の積の平均なので、表Ｄの(え)を人数で割ったもの。
なので、
10人の共分散$S_{xy}$は、
$S_{xy}=\displaystyle \frac{(\text{え})}{10}$
残った９人の共分散$S_{xy}'$は、
$S_{xy}'=\displaystyle \frac{(\text{え})}{9}$

英語について、10人の標準偏差を$s_{x}$、９人の標準偏差を$s_{x}'$とすると、式Ｉ・Ｊより、
$s_{x}=\displaystyle \sqrt{\frac{(\text{い})}{10}}=\frac{\sqrt{(\text{い})}}{\sqrt{10}}$
$s_{x}'=\displaystyle \sqrt{\frac{(\text{い})}{9}}=\frac{\sqrt{(\text{い})}}{3}$
数学の10人の標準偏差を$s_{y}$、９人の標準偏差を$s_{y}'$とすると、英語と同様の計算をして、
$s_{y}=\displaystyle \frac{\sqrt{(\text{う})}}{\sqrt{10}}$
$s_{y}'=\displaystyle \frac{\sqrt{(\text{う})}}{3}$

以上より、10人の相関係数$r$、９人の相関係数$r'$は、
$r=\displaystyle \frac{\frac{(\text{え})}{10}}{\frac{\sqrt{(\text{い})}}{\sqrt{10}}\cdot\frac{\sqrt{(\text{う})}}{\sqrt{10}}}=\frac{(\text{え})}{\sqrt{(\text{い})\cdot(\text{う})}}$
$r'=\displaystyle \frac{\frac{(\text{え})}{9}}{\frac{\sqrt{(\text{い})}}{3}\cdot\frac{\sqrt{(\text{う})}}{3}}=\frac{(\text{え})}{\sqrt{(\text{い})\cdot(\text{う})}}$
となるので、
$\displaystyle \frac{r'}{r}=1$
である。

解答ナ：１