大学入試センター試験 2014年(平成26年) 本試 数学ⅡB 第2問 解説

(1)

$f(x)$の式を微分して、
$f'(x)=3x^{2}-p$式A

解答ア:3, イ:2

$f(x)$が$x=a$で極値となるなら、$f'(a)=0$なので、
$3a^{2}-p=0$式B

解答ウ:0

復習

関数が$x=a$で極値を持つ条件は、
$f'(a)=0$ $x=a$の前後で$f'(x)$の符号が変わる だった。

1は解決済みなので、2を考えよう。

$y=f'(x)$とおいてグラフを描くと、$p$の値によって図A~Cになる。
グラフ中、ピンクの部分は$0 \lt f'(x)$で、空色の部分は$f'(x) \lt 0$である。

図A
大学入試センター試験2014年本試 数学ⅡB第2問 解説図A  
図B
大学入試センター試験2014年本試 数学ⅡB第2問 解説図B  
図C
大学入試センター試験2014年本試 数学ⅡB第2問 解説図C  

図Aのとき、$x=a$を境目にしてグラフはピンクの部分と空色の部分にまたがっているので、$x=a$の前後で$f'(x)$の符号が変わっている。よって、条件に合う。
図B・Cのときには、グラフは空色の部分に入らないので、$f'(x)$が負にならないから、条件に合わない。
以上より、$f(x)$が極値をもつのは
$-p \lt 0$
変形して、
$0 \lt p$
のとき。

解答エ:1

以上、問題文に「$x=a$前後での$f'(x)$の符号の変化を考えることにより」とあるので、手を抜かずに解いた。
でも、答えを出すだけなら、次の別解の方が簡単。

別解

復習

3次関数が極値をもつ
   $\Leftrightarrow$
$f'(a)=0$となる実数$a$が2つある。
だった。

これを使おう。

式Bを変形して、
$3a^{2}=p$
の解は、
$p \lt 0$のとき、実数解なし。
$p=0$のとき、重解。
$0 \lt p$のとき、異なるふたつの実数解。
である。
よって、$f(x)$が極値をもつのは、
$0 \lt p$
のとき。

解答エ:1

(2)

$f(x)$が$x=\displaystyle \frac{p}{3}$で極値をとるので、(1)の$a$を$\displaystyle \frac{p}{3}$におきかえて考える。

式Bより、
$3\left(\frac{p}{3}\right)^{2}-p=0$
途中式 両辺$3$倍して、
$p^{2}-3p=0$
$p(p-3)=0$
$p=0,\ 3$
(1)より、$f(x)$が極値をもつとき、$0 \lt p$なので、
$p=3$

解答オ:3

これを式Aに代入して、
$f'(x)=3x^{2}-3$式C
$f'(x)$$=3(x^{2}-1)$
$f'(x)$$=3(x+1)(x-1)$
となるので、
$x=\pm 1$のとき、$f'(x)=0$

ここから増減表を書いてもいいのだけれど、極値自体は聞かれてないし、カキだけ求めよう。
問題文のマスからカキが$-1$でが$1$なのは明らかだけど、一応復習をしておこう。

復習

$f(x)$は3次関数で3次の項の係数が正だから、グラフは全体として右上がり。

図D
大学入試センター試験2014年本試 数学ⅡB第2問 解説図D  
図E
大学入試センター試験2014年本試 数学ⅡB第2問 解説図E  
図F
大学入試センター試験2014年本試 数学ⅡB第2問 解説図F  

$f'(x)=0$となる$x$が2個のときは図D、1個のときは図E、ないときは図Fのような形になる。

これが頭に入っていれば、図Dより、
$x=\pm 1$のうち
小さい方の$x=-1$のときに極大
大きい方の$x=1$のときに極小
であることがすぐに分かる。

解答カ:-, キ:1, ク:1


さて、かなり情報が増えてきたので、グラフを描こう。
$\mathrm{A}$の座標は$\left(\frac{p}{3},\ f\left(\frac{p}{3}\right)\right)$だけど、$p=3$が分かっているので、計算して$(1,-2)$としてある。

図G
大学入試センター試験2014年本試 数学ⅡB第2問 解説図G

図Gの赤い直線$\ell$の方程式を求める。
$\ell$と$C$の接点を$(b, f(b))$とすると、
$\ell$の傾きは、式Cより
$3b^{2}-3$
これが$(b, f(b))$を通るので、
$y-f(b)=(3b^{2}-3)(x-b)$
より、
$y=(3b^{2}-3)(x-b)+f(b)$式D
となる。

解答ケ:3, コ:3

この直線が$(1,\ -2)$を通るので、
$-2=(3b^{2}-3)(1-b)+(b^{3}-3b)$
$3b^{2}-3-3b^{3}+3b+b^{3}-3b+2=0$
$-2b^{3}+3b^{2}-1=0$
$2b^{3}-3b^{2}+1=0$式E

解答サ:2, シ:3

これを解くのだけれど、今は点Aを通る$C$の接線と、$C$との接点を求めている。当然ながら、式Dの答えには、点A自身が接点である場合($b=1$も含まれる。
なので、因数定理を考えるまでもなく、式Dは$b-1$で割り切れる。
よって、式Eは
$(b-1)(2b^{2}-b-1)=0$
となり、さらに
$(b-1)(b-1)(2b+1)=0$
となるので、
$b=1,\displaystyle \ -\frac{1}{2}$
である。

解答ス:1, セ:-, ソ:1, タ:2

$\ell$の傾きが$0$ではないので、点A自身が接点ではないから、$b\neq 1$。
よって、求める$b$は$-\displaystyle \frac{1}{2}$。
これを式Dに代入して、
$y=\displaystyle \left\{3\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-3\right\}\left\{x-\left(-\frac{1}{2}\right)\right\}$
          $\displaystyle +\left\{\left(-\frac{1}{2}\right)^{3}-3\left(-\frac{1}{2}\right)\right\}$
途中式 $y$$\displaystyle =3\left(\frac{1}{4}-1\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}-3\right)$
$y\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{9}{4}\left(x+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\left(-\frac{11}{4}\right)$
$y\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{9}{4}x-\frac{1}{2}\left(\frac{9}{4}-\frac{11}{4}\right)$
$y\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{9}{4}x-\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{4}\right)$
$y\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{9}{4}x+\frac{1}{4}$
となる。

解答チ:-, ツ:9, テ:4, ト:1, ナ:4


ここまでの内容をグラフにしたものが図Hである。

図H
大学入試センター試験2014年本試 数学ⅡB第2問 解説図H

図Hの赤い放物線$D$の方程式を求める。

頂点が点Aなので、$D$は、
$y=\alpha(x-1)^{2}-2$式F
この放物線が$(0,\ 0)$を通るので、
$0=\alpha(0-1)^{2}-2$
$\alpha=2$
これを式Fに代入して、
$y=2(x-1)^{2}-2$

展開して、
$y=2x^{2}-4x+2-2$
$y$$=2x^{2}-4x$式G

解答ニ:2, ヌ:4

別解

$D$は、軸が$x=1$で、$x$軸と原点で交わる。
なので、もうひとつの原点と$D$の交点は$(2,0)$である。
このことから、$D$は、
$y=\alpha x(x-2)$式H
この放物線がAを通るので、
$-2=\alpha\cdot 1(1-2)$
$\alpha=2$
これを式Hに代入して、
$y=2x(x-2)$
展開して、
$y=2x^{2}-4x$式G

解答ニ:2, ヌ:4


最後に、$\ell$と$D$で囲まれた図形のうち、$y$軸より右の部分の面積$S$(図Hの斜線部分)を求める。
囲まれた図形全体の面積であれば$\displaystyle \frac{1}{6}$公式が使えるのだが、今回は使えない。
なので、図Hと式Gより、
$S=\displaystyle \int_{0}^{1}\left\{\left(-\frac{9}{4}x+\frac{1}{4}\right)-(2x^{2}-4x)\right\}dx$
途中式 $S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\{(-9x+1)-(8x^{2}-16x)\}dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}(-8x^{2}+7x+1)dx$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\left[-\frac{8}{3}x^{3}+\frac{7}{2}x^{2}+x\right]_{0}^{1}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}\left[-16x^{3}+21x^{2}+6x\right]_{0}^{1}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{6}(-16+21+6)$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{11}{24}$
となる。

解答ネ:1, ノ:1