142
三角比の相互関係(1)

最初は単純な計算である。
$\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$より、
$\sin^{2}\angle \mathrm{ABC}+\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}=1$
$\sin^{2}\angle \mathrm{ABC}=1-\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =1-\frac{2}{4^{2}}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{14}{4^{2}}$

$0 \lt \sin\angle \mathrm{ABC}$なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{14}}{4}$
となる。

解答オ：１, カ：４, キ：４

160
正弦定理

先に$\sin\angle \mathrm{ABC}$を求めて、後でACの長さとなれば、迷わずに正弦定理を使おう。

$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=2R$
なので、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}=2\cdot\frac{2\sqrt{14}}{7}$
両辺に$\displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4}$をかけて、
$\displaystyle \mathrm{AC}=\frac{\sqrt{14}}{4}\times 2\cdot\frac{2\sqrt{14}}{7}$
$\displaystyle \mathrm{AC}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{14}\cdot 2\cdot 2\cdot\sqrt{14}}{4\cdot 7}$

約分して、
$\mathrm{AC}=2$
である。

解答ク：２

160
余弦定理

次はABだけど、$\angle \mathrm{ACB}$が分からないので、正弦定理は使えない。
なので、余弦定理だ。

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot\cos\angle \mathrm{ABC}$
だから、
$2^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\sqrt{2}^{2}-2\cdot \mathrm{AB}\cdot\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$
$\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AB}-2=0$
$(\mathrm{AB}-1)(\mathrm{AB}+2)=0$
$0 \lt \mathrm{AB}$より、
$\mathrm{AB}=1$
となる。

解答ケ：１

いったん情報を整理しよう。ここまでで分かったことを図Ａに書き加えたのが、図Ｂである。ただし、ややこしくなるので一部省略してある。

ここで、復習に三角形の面積の公式を思いだそう。

復習

$ S=\displaystyle \frac{1}{2} \times$底辺$ \times$高さ $S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin \mathrm{A}$ $S=\displaystyle \frac{abc}{4R}$ $S=\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)$ $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
ただし、$s=\displaystyle \frac{a+b+c}{2}$ 意外にたくさんある。

使えるのは２か３だけど、今回は２の方が計算が楽。

174
三角形の面積

２を使うと、
△ABC$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 1\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{14}}{4}$
△ABC$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\sqrt{7}}{2\cdot 4}$
△ABC$\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\sqrt{7}}{4}$
となる。

解答コ：７, サ：４

最後はADだ。
図Ｂで、BDは円Oの直径なので、∠BADは直角。なので、三平方の定理が使える。

$\mathrm{BD}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AD}^{2}$
よって、
$\left(2\cdot\frac{2\sqrt{14}}{7}\right)^{2}=1^{2}+\mathrm{AD}^{2}$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}=\frac{2^{4}\cdot 14}{7^{2}}-1$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =\frac{2^{4}\cdot 14-7^{2}}{7^{2}}$
くれぐれもここで$2^{4}\cdot 14$とか$7^{2}$とかを展開してはいけない。かけ算をしても、あとで同じ数で割るハメになる。数学の計算の基本は因数分解である。
さらに、$\mathrm{AD}^{2}$を$\mathrm{AD}$にするときに平方根をとるのだから、分母は$7^{2}$のままおいておく方がよい。だから、分母分子を$7$で約分してはダメ。
分子を$7$でくくって、
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}=\frac{7(2^{4}\cdot 2-7)}{7^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{AD}^{2}$$\displaystyle =\frac{7\times 25}{7^{2}}$
$0 \lt \mathrm{AD}$より、
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{5\sqrt{7}}{7}$
である。

解答シ：５, ス：７, セ：７