問題を解く前に、反復試行の確率の確認をしておこう。

７回さいころを振って、１の目が３回出るのは
${}_{7}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{6}\right)^{3}\left(\frac{5}{6}\right)^{4}$
だった。

数字じゃなくて文字にすると、

復習

$n$回の試行で、確率$p$の事象が$r$回起こるのは、
${}_{n}\mathrm{C}_{r}p^{r}(1-p)^{n-r}$
だった。

ということで、問題を解こう。

１回の試行で
白いボールが出る確率は$\displaystyle \frac{3}{4}$
黒いボールが出る確率は$\displaystyle \frac{1}{4}$

$m=3$を、白いボールが３回出たと考えれば、
${}_{4}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}\right)$
黒いボールが１回出たと考えれば、
${}_{4}\mathrm{C}_{1}\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{3}$
どちらの場合でも
$\displaystyle \frac{27}{64}$
となる。

解答ア：２, イ：７, ウ：６, エ：４

センター試験の確率の問題は、計算で解こうとするよりも、パターンを数え上げた方が楽に解けることが多い。この問題もパターンを数えよう。

$n=3$となるのは、
○○○●
●○○○
の２パターン。

どちらも確率は同じだから、片方求めて２倍すると、
$\displaystyle \left(\frac{3}{4}\right)^{3}\left(\frac{1}{4}\right)\times 2=\frac{27}{128}$
である。

解答オ：２, カ：７, キ：１, ク：２, ケ：８

この場合もパターンを数える。

$n=2$となるのは、白黒どっちが出てもよい場合を×で表すと、
○○●×Ａ
×●○○Ｂ
●○○●Ｃ
の３パターン。

ＡとＢの確率は同じだから、片方求めて2倍しよう。
白黒どちらが出てもよい場合の確率は$1$なので、
$\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)\cdot 1\times 2$

Ｃの場合は、
$\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)$

この２つをたして、
$\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)\cdot 1\times 2+\left(\frac{1}{4}\right)\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)$
共通因数でくくって、
$=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)\times\left(2+\frac{1}{4}\right)$
$=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}\left(\frac{1}{4}\right)\times\left(\frac{9}{4}\right)$
$=\displaystyle \frac{81}{256}$
となる。

解答コ：８, サ：１, シ：２, ス：５, セ：６

$n=3,\ 2$の場合は(2),(3)ですでに求めてあるので、余事象（この問題なら$n=1$以外の場合）を求めて$1$から引き算をしよう。

$n=0$の場合は、
$\left(\frac{1}{4}\right)^{4}$

$n=2$の場合は、(3)より、
$\displaystyle \frac{81}{256}$

$n=3$の場合は、(2)より、
$\displaystyle \frac{27}{128}$

$n=4$の場合は、
$\left(\frac{3}{4}\right)^{4}$

全部たして$1$から引くと、
$1-\left\{\left(\frac{1}{4}\right)^{4}+\frac{81}{256}+\frac{27}{128}+\left(\frac{3}{4}\right)^{4}\right\}$
$=1-\displaystyle \frac{1+81+27\cdot 2+81}{256}$
$=1-\displaystyle \frac{217}{256}$
$=\displaystyle \frac{39}{256}$
となる。

余事象を求めるとき、$n=0$の場合を忘れがちなので気をつけよう。

解答ソ：３, タ：９, チ：２, ツ：５, テ：６