大学入試センター試験 2015年(平成27年) 追試 数学ⅡB 第3問 解説

問題を解く準備

センター試験に限らずマークシートのテストは、問題の流れに乗ることが大切だ。なので、私も問題の流れの通りに解説するのだけれど、この問題に関しては、問題を解く前に予備知識をつけておいた方が分かりやすいと思う。なので、最初は問題文は無視して説明する。
計算の説明は省略してるけど、あとでちゃんとフォローするから、気にせずに読み飛ばしてほしい。


①の漸化式で面倒なところは絶対値だ。なので、場合分けして絶対値をはずそう。

$0\leqq 4n-a_{n}$のとき、場合分けA
$a_{n+1}=(4n-a_{n})+2a_{n}$
$a_{n+1}$$=a_{n}+4n$式A

$4n-a_{n} \lt 0$のとき、場合分けB
$a_{n+1}=-(4n-a_{n})+2a_{n}$
$a_{n+1}$$=3a_{n}-4n$式B

となる。以下、場合分けAについて考える。

式Aの
$a_{n+1}=a_{n}+4n$
より、$\{a_{n}\}$の階差数列の一般項が$4n$。

階差数列からもとの数列を求める公式から、$2\leqq n$のとき
$a_{n}=(-40)+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}4k$
$a_{n}$$=2n^{2}-2n-40$式C
となる。

これが成り立つのは、場合分けAから
$0\leqq 4n-a_{n}$
のとき。
式Bから、$a_{n}=2n^{2}-2n-40$だから、
$0\leqq 4n-(2n^{2}-2n-40)$
のとき。
これを計算して、
$0\leqq-2n^{2}+6n+40$
より、
$1\leqq n\leqq 6$
である。

じゃぁ、
$1\leqq n\leqq 6$のとき、式Cより
$a_{n}=2n^{2}-2n-40$
なのかというと、そうじゃないのがこの問題の面倒なところ。
場合分けA・Bは漸化式の場合分けであって、一般項の場合分けじゃないのに注意してほしい。
$n=6$のとき、式Aは成り立つので、
$a_{6+1}=a_{6}+4\cdot 6$
となり、7項目まで式Bの一般項が使えるのだ。

ちょっと長くなったけれど、これで問題はすらすら解けるはず。
さて、解こう。

(1)

$a_{2},\ a_{3}$に関しては①からそのまま求めよう。

$a_{2}=|4\cdot 1-(-40)|+2(-40)$
$a_{2}$$=-36$

解答ア:3, イ:6

$a_{3}=|4\cdot 2-(-36)|+2(-36)$
$a_{3}$$=-28$

解答ウ:2, エ:8

ここで、②が成り立っているとすれば、
$0\leqq 4n-a_{n}$
だから、①の漸化式の絶対値の部分は
$|4n-a_{n}|=4n-a_{n}$
となって、絶対値がはずせる。
このとき、漸化式は
$a_{n+1}=4n-a_{n}+2a_{n}$
$a_{n+1}$$=a_{n}+4n$式D
$a_{n+1}-a_{n}=4n$
である。

解答オ:4

復習

ここで漸化式の基本の復習をしておこう。
漸化式の基本の形は4つあって、 $a_{n+1}=a_{n}+d$
公差$d$の等差数列
$a_{n+1}=ra_{n}$
公比$r$の等比数列
$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$
階差数列の一般項が$f(n)$
$a_{n+1}=pa_{n}+q$
特性方程式を使って解く
だった。

式Dは3番目のパターンなので、階差数列を使って解こう。

復習

階差数列が分かっているとき、もとの数列の一般項は、
$a_{n}=a_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$
ただし、$b_{k}$は階差数列の一般項
だった。

よって、$a_{n}$は、
$a_{n}=(-40)+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}4k$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-40+4\sum_{k=1}^{n-1}k$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-40+4\cdot\frac{1}{2}(n-1)(n-1+1)$
$a_{n}$$=2n^{2}-2n-40$
である。

解答カ:2, キ:2, ク:4, ケ:0

確認だけど、はじめに説明したように、
①の漸化式の絶対値の中が0以上になるのが
$1\leqq n\leqq m$
ならば、
③の一般項が使えるのは
$1\leqq n\leqq m+1$
だった。
なので、$m+1$は①の絶対値の中が負になる最初の数でもある。
これを利用して$m+1$を求めよう。

$4n-a_{n} \lt 0$より、
$4n-(2n^{2}-2n-40) \lt 0$
$2n^{2}-2n-40 \gt 4n$
これが、問題文中③の2行あとの式だ。
どんどん解いて、
$2n^{2}-6n \gt 40$
$n^{2}-3n \gt 20$
$n(n-3) \gt 20$式E

アドバイス

変な解き方をしてるけど、数列のときはこのように解く。
普通の2次不等のように、
$n^{2}-3n-20 \gt 0$
から
$n=\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{3^{2}-4\cdot(-20)}}{2}$
とやって
$n \lt \displaystyle \frac{3-\sqrt{89}}{2},\ \displaystyle \frac{3+\sqrt{89}}{2} \lt n$
としても、今度は$\displaystyle \frac{3\pm\sqrt{89}}{2}$がどのくらいの数か調べなきゃいけない。
なので、式Eのようにして、あとは適当な数字を代入してみる。どうせ$n$は自然数だし。

$n$が$5$くらいからやってみよう。
$n=5$のとき、$5(5-3)=10$なのでダメ。
$n=6$のとき、$6(6-3)=18$なのでダメ。
$n=7$のとき、$7(7-3)=28$なのでOKだ。
というわけで、式Dを満たす最小の$n$は、
$7$
である。

解答コ:7

$a_{7}$は、③より
$a_{7}=2\cdot 7^{2}-2\cdot 7-40=44$
となる。

解答サ:4, シ:4

(2)

ここからは、はじめの説明の場合分けBの部分だ。

まず④を数学的帰納法で確かめるらしい。
ここでちゃんと証明を考えていると、多分試験時間がなくなる。
どうせマジな数学的帰納法がセンター試験に出たことは過去一度もないし。
今はスセだけ解こう。

今は場合分けBについて考えているので、①の漸化式は、式Bより、
$a_{n+1}=3a_{n}-4n$
とかける。
この$n$を$k$にかえて、
$a_{k+1}=3a_{k}-4k$
となる。

解答ス:3, セ:4


以上より、
$7\leqq n$のとき、
$a_{n+1}=3a_{n}-4n$
ここからはお約束の解き方だ。

⑤の$n$に$n+1$を代入して、
$a_{n+2}=3a_{n+1}-4(n+1)$⑤'
⑤'-⑤より、辺々引いて、
$a_{n+2}-a_{n+1}=\{3a_{n+1}-4(n+1)\}-(3a_{n}-4n)$
$a_{n+2}-a_{n+1}$$=3a_{n+1}-3a_{n}-4$
$a_{n+2}-a_{n+1}$$=3(a_{n+1}-a_{n})-4$式F
ここで、問題文の通り
$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$式G
とおくと、
$b_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}$
だから、式Fは
$b_{n+1}=3b_{n}-4$
となる。

解答ソ:3, タ:4

漸化式の基本の4番目のパターンになった。
両辺から$2$を引いて、(なぜ$2$を引くかは、$a_{n+1}=pa_{n}+q$型の漸化式を復習してほしい)
$b_{n+1}-2=3b_{n}-6$
$b_{n+1}-2$$=3(b_{n}-2)$

解答チ:2, ツ:3

より、$b_{n}-2=c_{n}$とおくと、
$c_{n+1}=3c_{n}$
となるので、$\{c_{n}\}$は公比$3$の等比数列である。あとは$c_{1}$が分かれば$\{c_{n}\}$の一般項が出せる。
なので、$c_{1}$を求めたいけど、すぐには出ない。
だから、$b_{7}$→$c_{7}$→$c_{1}$と、順に求めてゆく。

ここで、式Gより、
$b_{7}=a_{8}-a_{7}$
サシより、
$a_{7}=44$
⑤より、
$a_{8}=3a_{7}-4\cdot 7$
$a_{8}$$=3\cdot 44-4\cdot 7$
$a_{8}$$=4(33-7)$
$a_{8}$$=104$
なので、
$b_{7}=104-44$
$b_{7}$$=60$
となる。

解答テ:6, ト:0

数列$c_{n}$は$7\leqq n$のときにしか成り立たないけれど、$n \lt 7$のときも成り立つと考えると、等比数列の一般項の式より
$c_{7}=c_{1}\cdot 3^{7-1}$
また、
$c_{7}=b_{7}-2=58$
なので、
$c_{1}\cdot 3^{6}=58$
$c_{1}=\displaystyle \frac{58}{3^{6}}$
以上より、等比数列の一般項の式から、
$c_{n}=\displaystyle \frac{58}{3^{6}}\cdot 3^{n-1}$
$c_{n}$$=58\cdot 3^{n-7}$
である。


$\{c_{n}\}$が出れば勝ったも同然。
これから、$\{c_{n}\}$→$\{b_{n}\}$→$\{a_{n}\}$と戻ってゆこう。

ここで、$c_{n}=b_{n}-2$なので、
$b_{n}-2=58\cdot 3^{n-7}$
$b_{n}=58\cdot 3^{n-7}+2$式H
となる。

解答ナ:5, ニ:8

次に、$\{a_{n}\}$を求めるために、$b_{n}$と$a_{n}$の関係を整理しよう。
式Gより、
$b_{n}=a_{n+1}-a_{n}$
⑤より、
$a_{n+1}=3a_{n}-4n$
なので、⑤を式Gに代入して、
$b_{n}=(3a_{n}-4n)-a_{n}$
$b_{n}$$=2a_{n}-4n$式I
となる。

解答ヌ:2

よって、式I=式Hより、$7\leqq n$のとき、
$2a_{n}-4n=58\cdot 3^{n-7}+2$
$2a_{n}=58\cdot 3^{n-7}+4n+2$
$a_{n}=29\cdot 3^{n-7}+2n+1$
となる。

解答ネ:2, ノ:9, ハ:2, ヒ:1