$n^{2}+n-6=(n-2)(n+3)$
より、

解答ア：２, イ：３

$n^{2}+n-6$が$13$の倍数のときは、$m$を整数として、
$n-2=13m$式A
または
$n+3=13m$式Ｂ
である。

式Ａのとき、
$n=13m+2$
より、$n$を$13$で割ると$2$余る。

式Ｂのとき、
$n=13m-3$
$n$$=13(m-1)+10$
より、$n$を$13$で割ると$10$余る。

解答ウ：２, エ：１, オ：０

$n^{2}+n-6$が$17$の倍数のときは、$m$を整数として、
$n-2=17m$式Ｃ
または
$n+3=17m$式Ｄ
である。

式Ｃのとき、
$n=17m+2$
より、$n$を$17$で割ると$2$余る。

式Ｄのとき、
$n=17m-3$
$n$$=17(m-1)+14$
より、$n$を$17$で割ると$14$余る。

解答カ：２, キ：１, ク：４

以上から分かることは、
$n-2$が$p$の倍数のとき、$n$を$p$で割ると$2$余る。
$n+3$が$p$の倍数のとき、$n$を$p$で割ると$p-3$余る。
よって、
$p-3=2$
$p=5$
のとき、$n-2$も$n+3$も$p$の倍数となる。

解答ケ：５

１次不定方程式はお約束の解き方があるので憶えておこう。

$13x-17y=1$式Ｅ
を解く。

$x$と$y$の係数の$13$と$17$でユークリッドの互除法を行うと、
$17\div13=1\ldots4$式Ｆ1
$13\div4=3\ldots1$式Ｆ2

これを「＝余り」の形に変形して、
$17-13\cdot1=4$式Ｆ1'
$13-4\cdot3=1$式Ｆ2'

式Ｆ2'に式Ｆ1'を代入して、
$13-(17-13\cdot 1)\cdot 3=1$
$13-17\cdot 3+13\cdot 3=1$
$13\cdot4-17\cdot3=1$式Ｇ
ができる。

式Ｅから式Ｇを辺々引くと、

	$13x$	$-17y$	$=$	$1$
$-)$	$13\cdot4$	$-17\cdot3$	$=$	$1$
	$13(x-4)$	$-17(y-3)$	$=$	$0$

となるから、
$13(x-4)=17(y-3)$
とかける。

ここで、$13$と$17$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$m$を整数として
$\left\{\begin{array}{l}x-4=17m\\y-3=13m\end{array}\right.$
より
$\left\{\begin{array}{l}x=17m+4\\y=13m+3\end{array}\right.$式Ｈ
でなければならない。

問題文より$x$は自然数。
よって、式Ｈより、
$0 \lt 17m + 4$
$ \displaystyle -\frac{4}{17} \lt m$
となるので、$m$の範囲は
$0 \leqq m$
だ。

$m$がこの範囲のとき、$x$が最小となる解の組を探す。
式Ｈより、
$x=17m+4$
なので、$x$が最小になるのは$m$が最小のとき。
よって、式Ｈに$m=0$を代入して、 $x=17 \cdot 0+4$
$x$$=4$ $y=13 \cdot 0+3$
$y$$=3$ が求める解である。

解答コ：４, サ：３

条件にあう自然数$n$は、$x,y$を整数として、
$\left\{\begin{array}{l}
n=13x+2\\
n=17y+14
\end{array}\right.$式Ｉ
とかける。
ここから$n$を消去して、
$13x+2=17y+14$
$13x-17y=12$式Ｊ
とする。

ここでは、先に$x$の範囲を求めておこう。
$1\leqq n\leqq 221$
なので、
$1\leqq 13x+2\leqq 221$
$-1\leqq 13x\leqq 219$
$-\displaystyle \frac{1}{13}\leqq x\leqq\frac{219}{13}$
$x$は整数なので、
$0\leqq x\leqq 16$式Ｋ
となる。

さて、式Ｊの不定方程式を解こう。

式Ｇの両辺を$12$倍して、
$13\cdot 48-17\cdot 36=12$
これを式Ｊから辺々引くと

	$13x$	$-17y$	$=$	$12$
$-)$	$13\cdot48$	$-17\cdot36$	$=$	$12$
	$13(x-48)$	$-17(y-36)$	$=$	$0$

となるから、
$13(x-48)=17(y-36)$
とかける。

ここで、$13$と$17$は互いに素なので、この式が成り立つためには、$m$を整数として
$x-48=17m$
$x=17m+48$式Ｌ
でなければならない。

式Ｋより、$0\leqq x\leqq 16$なので、
$0\leqq 17m+48\leqq 16$
$-48\leqq 17m\leqq-32$
$-\displaystyle \frac{48}{17}\leqq m\leqq-\frac{32}{17}$
$m$は整数なので、
$m=-2$

答えまであと少しだ。
$m=-2$のとき、式Ｌより
$x=17 \cdot (-2)+48$
$x$$=14$
このとき、式Ｉより
$n=13\cdot14+2$
$x$$=184$
である。

解答シ：１, ス：８, セ：４