大学入試センター試験 2015年(平成27年) 追試 数学ⅡB 第4問 解説

解説

図A
大学入試センター試験2015年追試 数学ⅡB第4問 解説図A

まず
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\frac{5}{4}$
の式を何とかしよう。

図Aより、
$\overrightarrow{\mathrm{PA}}=\vec{a}-\vec{p}$
$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\vec{b}-\vec{p}$
なので、①は
$(\displaystyle \vec{a}-\vec{p})\cdot(\vec{b}-\vec{p})=\frac{5}{4}$
$\displaystyle \vec{p}\cdot\vec{p}-\vec{a}\cdot\vec{p}-\vec{b}\cdot\vec{p}+\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{5}{4}$
$\overrightarrow{\mathrm{A}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{A}}=\left|\overrightarrow{\mathrm{A}}\right|^{2}$なので、
$\displaystyle \left|\vec{p}\right|^{2}-(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{p}+\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{5}{4}$式A
とかける。

ここで、図Aより、
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos 60^{\circ}$
$\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}$$\displaystyle =2\cdot 3\cdot\frac{1}{2}$
$\vec{a}\cdot\vec{b}$$=3$

解答ア:3


これを式Aに代入して、
$\displaystyle \left|\vec{p}\right|^{2}-(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{p}+3=\frac{5}{4}$
$\displaystyle \left|\vec{p}\right|^{2}-(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{p}+\frac{7}{4}=0$式A'
となる。

解答イ:7, ウ:4

イウからエオは、あんまり見ない変形だけど、実はほかの単元でさんざんやってることだ。
式A'を平方完成して、
$\displaystyle \left|\vec{p}\right|^{2}-2\cdot\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\cdot\vec{p}+\left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}$
       $-\displaystyle \left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}+\frac{7}{4}=0$
$\displaystyle \left|\vec{p}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}-\left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}+\frac{7}{4}=0$
$\displaystyle \left|\vec{p}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}=\left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}-\frac{7}{4}$式B

ここで、式Bの$\left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}$の部分を考えてみよう。
$\displaystyle \left|\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}=\frac{1}{4}\left(\left|\vec{a}\right|^{2}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}\right)$
$\displaystyle \left|\vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{4}(2^{2}+2\cdot 3+3^{2})$
$\displaystyle \left|\vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{19}{4}$
だから、式Bは
$\displaystyle \left|\vec{p}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|^{2}=\frac{19}{4}-\frac{7}{4}$
$\left|\vec{p}-\vec{a}+\vec{b}\right|^{2}$$=3$
とかける。

これを、両辺平方根をとって、
$\left|\vec{p}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right|=\sqrt{3}$
と変形できる。

解答エ:2, オ:3


ここまでで分かったことを図Aに書きたしたのが、図Bである。

図B
大学入試センター試験2015年追試 数学ⅡB第4問 解説図B

図Bで、
$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$⊥$\overrightarrow{\mathrm{MH}}$なので、
$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{MH}}=0$式C

解答カ:0

問題文の指示通り$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくと、
$\overrightarrow{\mathrm{MH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}}-\overrightarrow{\mathrm{OM}}$なので、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MH}}=t\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$式D
これを式Cに代入して、
$\overrightarrow{\mathrm{OC}}\cdot\left(t\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right)=0$
$t\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|^{2}-\frac{\vec{a}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\vec{b}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{2}=0$式E

ここで、
$\vec{a}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|\cdot\cos\angle 120^{\circ}$
$\vec{a}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$=2\cdot 1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)$
$\vec{a}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$=-1$
$\vec{b}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\left|\vec{b}\right|\cdot\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|\cdot\cos\angle 60^{\circ}$
$\vec{b}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$=3\cdot 1\cdot\left(\frac{1}{2}\right)$
$\displaystyle \vec{b}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}$$\displaystyle =\frac{3}{2}$
なので、式Eは
$t-\displaystyle \frac{1}{2}\left(-1+\frac{3}{2}\right)=0$
とかける。

よって、
$t=\displaystyle \frac{1}{2}\left(-1+\frac{3}{2}\right)$
$t\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{4}$
である。

解答キ:1, ク:4

次に$\left|\overrightarrow{\mathrm{MH}}\right|$を求める。
式Dに$t=\displaystyle \frac{1}{4}$を代入して、
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MH}}=\frac{1}{4}\overrightarrow{\mathrm{OC}}-\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$
$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{MH}}$$\displaystyle =\frac{1}{4}(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-2\vec{a}-2\vec{b})$
となるので、
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{MH}}\right|^{2}=\frac{1}{4^{2}}(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-2\vec{a}-2\vec{b})\cdot(\overrightarrow{\mathrm{OC}}-2\vec{a}-2\vec{b})$
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{MH}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{4^{2}}\left(\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|^{2}-4\vec{a}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}+4\left|\vec{a}\right|^{2}\right.$
                    $\left.+8\vec{a}\cdot\vec{b}+4\left|\vec{b}\right|^{2}-4\vec{b}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right)$
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{MH}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{1}{4^{2}}\left\{1^{2}-4\cdot(-1)+4\cdot 2^{2}\right.$
                    $+8\cdot 3+4\cdot 3^{2}-4\cdot\frac{3}{2}\}$
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{MH}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{75}{4^{2}}$
より、
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{MH}}\right|=\frac{\sqrt{75}}{4}$
$\displaystyle \left|\overrightarrow{\mathrm{MH}}\right|$$\displaystyle =\frac{5\sqrt{3}}{4}$
である。

解答ケ:5, コ:3, サ:4


図Bより、点Pと直線OCの距離が最小になるのは、点Pが直線MHと青い円の交点にあるとき。
よって、最小値は、$\left|\overrightarrow{\mathrm{MH}}\right|$から円の半径を引いて、
$\displaystyle \frac{5\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}$
である。

解答シ:3, ス:4

最後は三角形OCPの面積の最小値だけど、底辺OPの長さも、高さの最小値もすでに分かっている。なので、底辺×高さ÷2より、
$1\displaystyle \times\frac{\sqrt{3}}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$
である。

解答セ:3, ソ:8