大学入試センター試験 2018年(平成30年) 追試 数学ⅠＡ 第２問 [1] 解説

(1)

図Ａ
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅠＡ第２問[1] 解説図Ａ

まず$\cos\angle \mathrm{B}$から。
三角形の３つの辺の長さが分かっていて、ひとつの角の$\cos$を聞かれているので、余弦定理を使おう。

$\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}-2\mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cos\angle \mathrm{B}$
より、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{B}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}^{2}+\mathrm{B}\mathrm{C}^{2}-\mathrm{A}\mathrm{C}^{2}}{2\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{B}\mathrm{C}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{B}$$\displaystyle =\frac{4^{2}+(10\sqrt{3})^{2}-14^{2}}{2\cdot 4\cdot 10\sqrt{3}}$

分母分子を$2^{2}$で割って、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{B} =\frac{4+(5\sqrt{3})^{2}-7^{2}}{2\cdot 10\sqrt{3}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{B}$$\displaystyle =\frac{4+75-49}{2\cdot 10\sqrt{3}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{B}$$\displaystyle =\frac{30}{2\cdot 10\sqrt{3}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{B}$$\displaystyle =\frac{3}{2\sqrt{3}}$
分母分子を$\sqrt{3}$で割って、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{B} =\frac{\sqrt{3}}{2}$
となる。

解答ア：３, イ：２

なので、$\angle \mathrm{B}$は$30^{\circ}$だ。

図Ｂ
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅠＡ第２問[1] 解説図Ｂ

外接円の半径$R$が含まれる式を問われているので、$R$が含まれている公式を使う。
△ABDに正弦定理を用いて、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\sin\angle \mathrm{B}}=2R$
これを変形して、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{R}=2\sin\angle \mathrm{B}$式Ａ
となる。

ここで、$\angle \mathrm{B}$は$30^{\circ}$なので、$\displaystyle \sin\angle \mathrm{B}=\frac{1}{2}$
よって、式Ａは
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{R}=2\cdot\frac{1}{2}$
      $=1$式Ａ'
である。

解答ウ：１

次は、$R$の最小値を求める問題。

式Ａ'をさらに変形すると、
$R=\mathrm{AD}$式Ａ''
となるから、ADが最小のとき$R$も最小になる。

ADが最小になるのは、$\angle \mathrm{ADB}$が直角になるとき、つまり、Dが図Ｂの赤い点にあるとき。
このとき、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}=\sin\angle \mathrm{B}$
より、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{D}}{4}=\frac{1}{2}$
$\mathrm{AD}=2$式Ｂ
なので、式Ａ''より、$R$の最小値も$2$である。

解答エ：２

(2)

図Ｃ
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅠＡ第２問[1] 解説図Ｃ

△ABDの外接円の中心がBC上にあるとき、
BDは外接円の直径
 $\angle \mathrm{BAD}$は直角
 である。
また、$\angle \mathrm{B}$は$30^{\circ}$だったので、△ABDは、
$90^{\circ}$，$60^{\circ}$，$30^{\circ}$の直角三角形
 である。

以上より、
$\mathrm{AD}:\mathrm{AB}=1:\sqrt{3}$
$\mathrm{AD}:4=1:\sqrt{3}$
$\sqrt{3}\mathrm{AD}=4$
$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{4}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle \mathrm{AD}$$\displaystyle =\frac{4\sqrt{3}}{3}$
となる。
さらに、$R=\mathrm{AD}$なので、
$R=\displaystyle \frac{4\sqrt{3}}{3}$
である。

解答オ：４, カ：３, キ：３

最後は、△ACD（図Ｄの青い三角形）の面積だ。

図Ｄ
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅠＡ第２問[1] 解説図Ｄ

解法は何通りか考えられる。
図Ｄの、 赤い三角形（△ABC）の面積を赤 緑の三角形（△ABD）の面積を緑 青い三角形（△ACD）の面積を青 とすると、

解法１おすすめ
青い三角形において、CDを底辺としたときの高さは分かっているので、面積が計算できる。 解法２
赤から緑を引いて青を求める。 解法３
$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}=$赤$:$青の比率を使って求める。

この３通りを解説する。解法２と解法３では、計算練習のために三角形の高さが$2$であることを使わずに解く。
他にも方法が考えられるけど、遠回りの解法になるので省略する。

解法１

図Ｄで、
$\mathrm{BD}=2R$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =2\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =\frac{8\sqrt{3}}{3}$
これを$\mathrm{BC}$から引いて、
$\displaystyle \mathrm{CD}=10\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \mathrm{CD}$$\displaystyle =\frac{30\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \mathrm{CD}$$\displaystyle =\frac{22\sqrt{3}}{3}$
である。

青い三角形の高さは式Ｂより$2$なので、面積は、
青$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{CD}\cdot$高さ
青$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\frac{22\sqrt{3}}{3}\cdot 2$
青$\displaystyle =\frac{22\sqrt{3}}{3}$
となる。

解答ク：２, ケ：２, コ：３, サ：３

解法２

赤い三角形の面積は、
赤$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot\sin\angle \mathrm{B}$
緑の三角形の面積は、
緑$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}\cdot\sin\angle \mathrm{B}$
なので、青い三角形の面積は、
青$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot\sin\angle \mathrm{B}-\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BD}\cdot\sin\angle \mathrm{B}$
青$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{B}\cdot(\mathrm{BC}-\mathrm{BD})$式Ｃ

図Ｄで、
$\mathrm{BD}=2R$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =2\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =\frac{8\sqrt{3}}{3}$
なので、式Ｃは、
青$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot\sin\angle \mathrm{B}\cdot(\mathrm{BC}-\mathrm{BD})$
青$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(10\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)$
青$\displaystyle =10\sqrt{3}-\frac{8\sqrt{3}}{3}$
青$\displaystyle =\frac{30\sqrt{3}-8\sqrt{3}}{3}$
青$\displaystyle =\frac{22\sqrt{3}}{3}$
となる。

解答ク：２, ケ：２, コ：３, サ：３

解法３

図Ｄで、
$\mathrm{BD}=2R$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =2\cdot\frac{4\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \mathrm{BD}$$\displaystyle =\frac{8\sqrt{3}}{3}$
なので、
$\displaystyle \mathrm{BC}:\mathrm{BD}=10\sqrt{3}:\frac{8\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \mathrm{BC}:\mathrm{BD}$$\displaystyle =10:\frac{8}{3}$
$\mathrm{BC}:\mathrm{BD}$$=30:8$
$\mathrm{BC}:\mathrm{BD}$$=15:4$
となる。
よって、
$\mathrm{BC}:\mathrm{CD} =15:(15-4)$
$\mathrm{BC}:\mathrm{CD}$$=15:11$
より、
赤$:$青$=15:11$式Ｄ
である。

ここで、赤い三角形の面積は、
赤$=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot\sin\angle \mathrm{B}$
赤$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 10\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}$
赤$=10\sqrt{3}$

これを式Ｄに代入して、
$10\sqrt{3}:$青$=15:11$
$15$青$=11\cdot 10\sqrt{3}$
青$=\displaystyle \frac{11\cdot 10\sqrt{3}}{15}$
青$\displaystyle =\frac{11\cdot 2\sqrt{3}}{3}$
青$\displaystyle =\frac{22\sqrt{3}}{3}$
となる。

解答ク：２, ケ：２, コ：３, サ：３