大学入試センター試験 2018年(平成30年) 追試 数学ⅠA 第5問 解説

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図A
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅠA第5問 解説図A

図Aで、方べきの定理より、
$\mathrm{PD}\cdot \mathrm{PC}=\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$
なので、
$1\cdot \mathrm{PC}=x\cdot\sqrt{10}$
$\mathrm{PC}=\sqrt{10}x$
ここで、$\mathrm{PC}=\mathrm{CD}+1$なので、
$\mathrm{CD}+1=\sqrt{10}x$
$\mathrm{CD}=\sqrt{10}x-1$
である。

解答ア:1, イ:0, ウ:1


$\displaystyle \frac{\mathrm{R}\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{R}}=2$
じゃ分かりにくいので、少し変形しよう。
分母を払って
$\mathrm{RC}=2\mathrm{BR}$
より、
$\mathrm{RC}:\mathrm{BR}=2:1$
である。

情報が増えてきたので、分かっていることを図Bに整理した。

図B
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅠA第5問 解説図B

図Bで$x$の値を問われているので、△$\mathrm{PBC}$でチェバの定理だ。

チェバの定理より、
$\displaystyle \frac{\mathrm{P}\mathrm{A}}{\mathrm{A}\mathrm{B}}\cdot\frac{\mathrm{B}\mathrm{R}}{\mathrm{R}\mathrm{C}}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{D}}{\mathrm{D}\mathrm{P}}=1$
なので、
$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{10}-x}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{10}x-1}{1}=1$
である。
これを整理して、
途中式 $\displaystyle \frac{x(\sqrt{10}x-1)}{2(\sqrt{10}-x)}=1$
$x(\sqrt{10}x-1)=2(\sqrt{10}-x)$
$\sqrt{10}x^{2}-x=2\sqrt{10}-2x$
$\sqrt{10}x^{2}+x-2\sqrt{10}=0$
解の公式より、
$x=\displaystyle \frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot\sqrt{10}\cdot(-2\sqrt{10})}}{2\sqrt{10}}$
途中式 $x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-1\pm\sqrt{1+8\sqrt{10}^{2}}}{2\sqrt{10}}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-1\pm\sqrt{81}}{2\sqrt{10}}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-1\pm 9}{2\sqrt{10}}$
ここで、$0 \lt x$なので、
$x=\displaystyle \frac{-1+9}{2\sqrt{10}}$
途中式 $x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8}{2\sqrt{10}}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{8\sqrt{10}}{2\cdot 10}$
$x\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\sqrt{10}}{5}$
である。

解答エ:2, オ:1, カ:0, キ:5

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図C
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅠA第5問 解説図C

図Cより、立方体の
頂点の数は$8$
辺の数は$12$
面の数は$6$
なので、
$v-e+f=$頂点$-$辺$+$面
$v-e+f$$=8-12+6$
$v-e+f$$=2$式A
である。

解答ク:2


ここで
頂点の数$:$辺の数$=2:5$
面の数が$38$
である凸多面体を考える。

アドバイス

問題文に、オイラーの多面体定理が出ている。センター試験に出るのは初めてだ。でも、びっくりしてはいけない。知らなくても解けます。
センター試験はいろんな手を使って受験生をおどかそうとするけど、平常心でスルーしましょう。

$v:e=2:5$
なので、$n$を正の整数として
$\left\{\begin{array}{l}
v=2n\\
e=5n
\end{array}\right.$式B
とおく。

式Aより
$v-e+f=2$
問題文より
$f=38$
なので、
$2n-5n+38=2$
$3n=36$
$n=12$
である。

これを式Bに代入して、
$\left\{\begin{array}{l}
v=24\\
e=60
\end{array}\right.$
となる。

解答ケ:2, コ:4, サ:6, シ:0

よって、この凸多面体は、
頂点の数$v=24$
辺の数$e=60$
面の数$f=38$
である。


さらに、この凸多面体は、
$x$個の正三角形
$y$個の正方形
の面でできている。面の数は全部で$38$なので、
$x+y=38$式C
である。

また、
正三角形の面$x$個の辺の数は、$3x$
正方形の面$y$個の辺の数は、$4y$
だけど、ひとつの面の辺は、立方体では隣の面の辺と共有だ。
なので、辺の数は
$e=\displaystyle \frac{3x+4y}{2}$式D
と表せる。

詳しく
図D
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅠA第5問 解説図D

図Dのように、6つの正方形から立方体をつくる場合を考えよう。
図Dで左図の正方形の2つの赤い辺は、右図の立方体になると重なって1つの辺になる。
同じように、2つの青い辺も、緑の辺も、立方体になると1つの辺になる。
なので、
正方形の辺の数$\displaystyle \times\frac{1}{2}=$立方体の辺の数
となる。

同じことが、すべての多面体で考えられる。
よって、
面の辺の数$\displaystyle \times\frac{1}{2}=$多面体の辺の数
である。

ここで、辺の数は$60$であることが分かっているので、式Dは
$\displaystyle \frac{3x+4y}{2}=60$
より
$3x+4y=120$式E
となる。

解答ス:1, セ:2, ソ:0

式Eと式Cの連立方程式を解こう。
式Cの両辺を$4$倍して、
$4x+4y=38\cdot 4$
これから式Eを辺々引いて、

$4x$ $+4y$ $=$ $38\cdot 4$
$-)$ $3x$ $+4y$ $=$ $30\cdot 4$
$x$ $=$ $8\cdot 4$

となるので、
$x=32$
である。

解答タ:3, チ:2


また、頂点の数は$24$個で、各頂点に集まる辺の数は$\ell$である。
なので、辺の数は
$ 24\ell$
と言いたいところだけど、辺の両端に頂点があるから、頂点$\times$集まる辺の数ではひとつの辺を$2$度数えている。
よって、辺の数は
$e=\displaystyle \frac{24\ell}{2}$
が正しい。

辺の数は$60$であることが分かっているので、上の式は
$\displaystyle \frac{24\ell}{2}=60$
とかける。

これを解いて、
$\ell=5$
である。

解答ツ:5