８つのものを１列に並べるんだけど、そのうち４つ，２つ，２つはそれぞれ区別がつかない。
なので、場合の数は
$\displaystyle \frac{8!}{4!\cdot 2!\cdot 2!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{2\cdot 2}$
             $=2\cdot 7\cdot 6\cdot 5$
             $=420$
である。

解答ア：４, イ：２, ウ：０

１以外のカードを先に並べ、あとから１を差し込むことにしよう。

１以外の４枚のカードの並べ方は、
$\displaystyle \frac{4!}{2!\cdot 2!}$通り。

図の固定

並べた４枚のカードの間に１を差し込むんだけど、差し込むことができる場所は、図Ａのように５か所ある。
そのうちの４か所に差し込むので、差し込み方は
${}_{5}\mathrm{C}_{4}$通り。

１以外のカードを並べて、間に１を差し込んで、両方の作業を行わないと試行が終わらない。
なので、この２つの数はかけ算だ。
$\displaystyle \frac{4!}{2!\cdot 2!}\times {}_{5}\mathrm{C}_{4}=3\cdot 2\cdot 5$
                  $=30$
なので、条件(*)を満たす整数は$30$個である。

解答エ：３, オ：０

$P(A_{0})$は、８枚のカードから３枚取り出し、５が１枚も含まれていない確率。
つまり、５以外の６枚から３枚出る確率なので、
$P(A_{0})=\displaystyle \frac{{}_{6}\mathrm{C}_{3}}{{}_{8}\mathrm{C}_{3}}$
$P(A_{0})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}}{\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}}$
$P(A_{0})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6\cdot 5\cdot 4}{8\cdot 7\cdot 6}$
$P(A_{0})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{5}{2\cdot 7}$
$P(A_{0})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{5}{14}$

解答カ：５, キ：１, ク：４

$P(A_{1})$は、２枚の５から１枚，６枚の５以外から２枚出る確率。
$P(A_{1})=\displaystyle \frac{{}_{2}\mathrm{C}_{1}\cdot {}_{6}\mathrm{C}_{2}}{{}_{8}\mathrm{C}_{3}}$
$P(A_{1})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2\cdot\frac{6\cdot 5}{2\cdot 1}}{\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}}$
$P(A_{1})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{5}{\frac{4\cdot 7}{3}}$
$P(A_{1})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{5\cdot 3}{4\cdot 7}$
$P(A_{1})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15}{28}$式Ａ

解答ケ：１, コ：５, サ：２, シ：８

$P(A_{2})$は、２枚の５全部と，６枚の５以外から１枚出る確率。
だけど、５は２枚しかないので、取り出した３枚のうちの５の数は
０枚（$A_{0}$） １枚（$A_{1}$） ２枚（$A_{2}$） の３パターンしかない。
はじめの２パターンの確率はすでに求めてあるので、余事象として$P(A_{2})$を求めた方が早い。

以上の考え方から、
$P(A_{2})=1-(P(A_{0})+P(A_{1}))$
$P(A_{2})$$=1-\left(\frac{5}{14}+\frac{15}{28}\right)$
$P(A_{2})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{28}{28}-\frac{10+15}{28}$
$P(A_{2})\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{28}$式Ｂ
である。

解答ス：３, セ：２, ソ：８

$P(A_{1}\cap B)$は、$A_{1}$が起こり、そのうちから１枚取り出すと５である確率。
$A_{1}$が起こる確率は、式Ａより
$\displaystyle \frac{15}{28}$

$A_{1}$が起こっているので、袋の中には
５ １または２ １または２ のカードが入っている。
これから１枚取り出すと５なので、その確率は
$\displaystyle \frac{1}{3}$

よって、
$P(A_{1}\displaystyle \cap B)=\frac{15}{28}\cdot\frac{1}{3}$
$P(A_{1}\displaystyle \cap B)$$\displaystyle =\frac{5}{28}$式Ｃ
である。

解答タ：５, チ：２, ツ：８

$P(A_{2}\cap B)$も同様に考えよう。
$A_{2}$が起こる確率は、式Ｂより
$\displaystyle \frac{3}{28}$

$A_{2}$が起こっているので、袋の中には
５ ５ １または２ のカードが入っている。
これから１枚取り出すと５なので、その確率は
$\displaystyle \frac{2}{3}$

よって、
$P(A_{2}\displaystyle \cap B)=\frac{3}{28}\cdot\frac{2}{3}$
$P(A_{2}\displaystyle \cap B)$$\displaystyle =\frac{1}{14}$式Ｄ
である。

解答テ：１, ト：１, ナ：４

ここで、条件付き確率の復習をすると、

事象$B$、つまり試行$T_{2}$で５が出るのは、さっき確率を求めた
$A_{1}\cap B$ $A_{2}\cap B$ の２パターンしかない。
なので、事象$B$が起こる確率$P(B)$は
$P(B)=P(A_{1}\cap B)+P(A_{2}\cap B)$
で、これは、式Ｃと式Ｄより
$P(B)=\displaystyle \frac{5}{28}+\frac{1}{14}$
である。
これが、復習の式Ｅの分母にあたる。

また、試行$T_{2}$で５が出て、袋の中にも５が入っているためには、
試行$T_{1}$で５が２枚取り出される 試行$T_{2}$で５が取り出される の両方が起こった場合なので、$A_{2}\cap B$の事象だ。
なので、確率は、式Ｄより
$P(A_{2}\displaystyle \cap B)=\frac{1}{14}$
である。
これが、復習の式Ｅの分子にあたる。

以上より、求める条件付き確率は、
$\displaystyle \frac{\frac{1}{14}}{\frac{5}{28}+\frac{1}{14}}$
となる。
この分母分子に$28$をかけて、
$\displaystyle \frac{\frac{1}{14}\cdot 28}{\frac{5}{28}\cdot 28+\frac{1}{14}\cdot 28}=\frac{2}{5+2}$
                      $=\displaystyle \frac{2}{7}$
である。

解答ニ：２, ヌ：７