大学入試センター試験 2018年(平成30年) 追試 数学ⅡB 第2問 解説

(1)

$C_{1}$と$C_{2}$の交点は、$C_{1}$と$C_{2}$の式の連立方程式方程式を解いて、
$3x^{2}=2x^{2}+a^{2}$
$x^{2}=a^{2}$
$x=\pm a$
これを$C_{1}$の式に代入して、
$(-a,3a^{2})$,$(a,3a^{2})$
となる。

この二つの交点のうち、$x$座標が大きい方が点$\mathrm{B}$なので、座標は
$(a,3a^{2})$
である。

解答ア:a, イ:3, ウ:2


図A
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅡB第2問 解説図A

$\ell$と$C_{1}$の接点を点$S$とする。

問題文より、$S$の$x$座標は$s$なので、$y$座標は
$3s^{2}$
になる。

また、$C_{1}$の式を微分すると
$y'=6x$
なので、点$S$における接線の傾きは
$6s$
である。

以上より、$\ell$の式は、
傾きが$6s$ $(s,3s^{2})$を通る 直線なので、
$y-3s^{2}=6s(x-s)$
より
$y=6sx-6s^{2}+3s^{2}$
$y=$$6s$$x$$-3s^{2}$式A
となる。

解答エ:6, オ:3, カ:2


$\ell$と$C_{2}$の接点を点$T$とする。

問題文より、$T$の$x$座標は$t$なので、$y$座標は
$2t^{2}+a^{2}$
になる。

また、$C_{2}$を微分すると
$y'=4x$
なので、点$T$における接線の傾きは
$4t$
である。

以上より、$\ell$の式は
傾きが$4t$
$(t,2t^{2}+a^{2})$を通る
直線なので、
$y-(2t^{2}+a^{2})=4t(x-t)$
より
$y=4tx-4t^{2}+2t^{2}+a^{2}$
$y=$$4t$$x$$-2t^{2}+a^{2}$式B
となる。

解答キ:4, ク:2


式Aと式Bは、両方とも直線$\ell$の方程式なので、
ふたつの式の$x$の係数(赤い部分)は等しい ふたつの式の定数項(青い部分)は等しい から、連立方程式
$\left\{\begin{array}{l}
6s=4t\\
-3s^{2}=-2t^{2}+a^{2}
\end{array}\right.$
ができる。

連立方程式の上の式を変形して、
$3s=2t$式C
下の式の両辺を$2$倍して、
$-6s^{2}=-4t^{2}+2a^{2}$
$-6s^{2}=-(2t)^{2}+2a^{2}$
これに式Cを代入して、
$-6s^{2}=-(3s)^{2}+2a^{2}$
途中式 $-6s^{2}=-9s^{2}+2a^{2}$
$3s^{2}=2a^{2}$
$s^{2}=\displaystyle \frac{2}{3}a^{2}$
$s=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}a$
$s\displaystyle $$\displaystyle =\pm\frac{\sqrt{6}}{3}a$
となるけど、$S$は第1象限の点なので、
$0 \lt s$

また、問題文より、$a$は正の実数なので、
$s=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{3}a$式D
となる。

解答ケ:6, コ:3

これを式Cに代入して、
$2t=3\displaystyle \cdot\frac{\sqrt{6}}{3}a$
$2t$$=\sqrt{6}a$
$t=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}a$式E
である。

解答サ:2


図B
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅡB第2問 解説図B

さらに、図Bの赤い図形の面積を求める。
図形の上端は、
点$S$から点$\mathrm{B}$までは、$C_{1}$ 点$\mathrm{B}$から点$T$までは、$C_{2}$ なので、緑の部分と青い部分に分けて面積を求めよう。

赤い図形の面積を、赤 緑の部分の面積を、緑 青い部分の面積を、青 とすると、
赤$=$緑$+$青
緑$=\displaystyle \int_{s}^{a}3x^{2}dx$
青$=\displaystyle \int_{a}^{t}(2x^{2}+a^{2})dx$
である。

これを普通に計算すると、
緑$=\displaystyle \int_{s}^{a}3x^{2}dx$
$=\left[\frac{3x^{3}}{3}\right]_{s}^{a}$
$=a^{3}-s^{3}$

青$=\displaystyle \int_{a}^{t}(2x^{2}+a^{2})dx$
$=\left[\frac{2}{3}x^{3}+a^{2}x\right]_{a}^{t}$
途中式 $\displaystyle =\frac{2}{3}(t^{3}-a^{3})+a^{2}(t-a)$
$\displaystyle =\frac{1}{3}\{2(t^{3}-a^{3})+3a^{2}(t-a)\}$
$\displaystyle =\frac{1}{3}(2t^{3}-2a^{3}+3ta^{2}-3a^{3})$
$\displaystyle =\frac{1}{3}(2t^{3}+3ta^{2}-5a^{3})$

なので、
赤$=$緑$+$青
途中式 $\displaystyle =(a^{3}-s^{3})+\frac{1}{3}(2t^{3}+3ta^{2}-5a^{3})$
$\displaystyle =\frac{1}{3}(3a^{3}-3s^{3}+2t^{3}+3ta^{2}-5a^{3})$
$\displaystyle =\frac{1}{3}(-3s^{3}+2t^{3}+3ta^{2}-2a^{3})$
となる。

これに式D,式Eを代入して、
赤$=\displaystyle \frac{1}{3}\left\{-3\left(\frac{\sqrt{6}}{3}a\right)^{3}+2\left(\frac{\sqrt{6}}{2}a\right)^{3}+3\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}a\cdot a^{2}-2a^{3}\right\}$
途中式 $\displaystyle =\frac{1}{3}a^{3}\left(-\frac{2\sqrt{6}}{3}+\frac{3\sqrt{6}}{2}+\frac{3\sqrt{6}}{2}-2\right)$
$\displaystyle =\frac{1}{3}a^{3}\left\{\left(-\frac{2}{3}+3\right)\sqrt{6}-2\right\}$
$\displaystyle =\frac{1}{3}a^{3}\left(\frac{7}{3}\sqrt{6}-2\right)$
$\displaystyle =\frac{7\sqrt{6}-6}{9}a^{3}$
である。

解答シ:7, ス:6, セ:6, ソ:9, タ:3

(2)

まず、もとになる式を作っておこう。
$f(x)=x^{3}+px^{2}+qx+r$式F
を微分して、
$f'(x)=3x^{2}+2px+q$式G
となる。

$f(x)$は$x=-4$で極値をとるので、
$f'(-4)=0$
といえる。
よって、式Gより、
$3(-4)^{2}+2p(-4)+q=0$
$-8p+q=-48$式H1
である。

$f(x)$は原点$(0,0)$を通るので、式Fより、
$r=0$
である。

解答ナ:0

$f(x)$は点$\mathrm{A}(-a,3a^{2})$を通るので、式Fより、
$(-a)^{3}+p(-a)^{2}+q(-a)+r=3a^{2}$
$-a^{3}+a^{2}p-aq+r=3a^{2}$
だけど、$r=0$なので、
$-a^{3}+a^{2}p-aq=3a^{2}$
$a\neq 0$なので、両辺を$a$で割って、
$-a^{2}+ap-q=3a$式H2
である。

$f(x)$は点$\mathrm{B}(a,3a^{2})$を通るので、式Fより、
$a^{3}+a^{2}p+aq+r=3a^{2}$
だけど、$r=0$なので、
$a^{3}+a^{2}p+aq=3a^{2}$
$a\neq 0$なので、両辺を$a$で割って、
$a^{2}+ap+q=3a$式H3
である。


以上より、連立方程式

$-8p+q=-48$ 式H1
$-a^{2}+ap-q=3a$ 式H2
$a^{2}+ap+q=3a$ 式H3

ができる。
この連立方程式を解く。

式H2と式H3を辺々たして、

$-a^{2}$ $+ap$ $-q$ $=$ $3a$
$+)$ $a^{2}$ $+ap$ $+q$ $=$ $3a$
$2ap$ $=$ $6a$

より、
$ap=3a$
ここで、$a\neq 0$なので、両辺を$a$で割って、
$p=3$式I1
である。

解答チ:3

これを式H1に代入して、
$-8\cdot 3+q=-48$
$q=-24$式I2
となる。

解答ツ:-, テ:2, ト:4

式I1,式I2を式H3に代入して、
$a^{2}+3a-24=3a$
$a^{2}=24$
$a=\pm\sqrt{24}$
$a$$=\pm 2\sqrt{6}$
だけど、$0 \lt a$なので、
$a=2\sqrt{6}$
である。

解答ノ:2, ハ:6


以上より、式F,式Gは
$f(x)=x^{3}+3x^{2}-24x$式F'
$f'(x)=3x^{2}+6x-24$式G'
となり、放物線$C_{2}$の式は
$y=2x^{2}+24$式J
となって、図Cのグラフができる。

図C
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅡB第2問 解説図

式G'は
$f'(x)=3x^{2}+6x-24$
$f'(x)$$=3(x^{2}+2x-8)$
$f'(x)$$=3(x+4)(x-2)$
と因数分解できるので、
$x=-4$,$2$
のとき、$f'(x)=0$である。
よって、$f(x)$が極小となるのは、$x=2$のとき。
極小値は、$x=2$を式F'に代入して、
$2^{3}+3\cdot 2^{2}-24\cdot 2$
$=4(2+3-12)$
$=-28$
となる。

解答ニ:-, ヌ:2, ネ:8


最後に、図Cの赤い点の座標だ。
共有点の座標なので、$y=f(x)$と$C_{2}$の式の連立方程式を解く。
式F'$=$式Jより、
$x^{3}+3x^{2}-24x=2x^{2}+24$
である。これを解く。
$x^{3}+x^{2}-24x-24=0$式K
途中式 $x^{2}(x+1)-24(x+1)=0$
$(x+1)(x^{2}-24)=0$
$(x+1)(x-\sqrt{24})(x+\sqrt{24})=0$
$(x+1)(x-2\sqrt{6})(x+2\sqrt{6})=0$
より、
$x=-1$,$2\sqrt{6}$,$-2\sqrt{6}$
となるけど、今必要なのは点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$以外の共有点だ。
なので、赤い点の$x$座標は
$x=-1$
$y$座標は、これを式Jに代入して、
$y=2\cdot(-1)^{2}+24$
$y$$=26$
である。

解答ヒ:-, フ:1, ヘ:2, ホ:6

別解

アドバイス

今回は式Kが簡単に因数分解できたので、上の解説では普通に解いた。けれど、因数分解が面倒な場合には、次のような方法がお薦めだ。

図Cのように、曲線$y=f(x)$と放物線$C_{2}$の交点は3つあるんだけど、そのうちの2点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$の$x$座標は
$\pm 2\sqrt{6}$
であることが分かっている。

よって、図Cの赤い点の$x$座標を$\alpha$とすると、式Kは
$(x-\alpha)(x-2\sqrt{6})(x+2\sqrt{6})=0$
と因数分解できるはずだ。

これを展開して、
$(x$$-\alpha$$)(x^{2}$$-24$$)=0$
これが式Kと同じ式になるはずだ。

定数項の部分(赤い部分)だけ展開すると、
$24\alpha$
だけど、これが式Kの定数項の
$-24$
と等しいので、
$24\alpha = -24$
$\alpha = -1$
より、図Cの赤い点の$x$座標は
$x=-1$
である。

$y$座標は、これを式Jに代入して、
$y=2\cdot(-1)^{2}+24$
$y$$=26$
である。

解答ヒ:-, フ:1, ヘ:2, ホ:6