$\vec{n}=(1,y,z)$
とおく。

$\vec{n}$⊥$\vec{p}$なので、
$\vec{n}\cdot\vec{p}=1\cdot 2+y\cdot(-1)+z\cdot(-1)=0$
だから、
$y+z=2$式Ａ
である。

$\vec{n}$⊥$\vec{q}$なので、
$\vec{n}\cdot\vec{q}=1\cdot 0+y\cdot 1+z\cdot(-1)=0$
だから、
$y-z=0$
$y=z$式Ｂ
である。

式Ａと式Ｂの連立方程式を解く。
式Ｂを式Ａに代入して、
$y+y=2$
$y=1$
これを式Ｂに代入して、
$z=1$
となるので、
$\vec{n}=(1,1,1)$
となる。

解答オ：１, カ：１

ここで、$\vec{n}$の意味を考えておこう。
平面に垂直なベクトルについて復習すると、

復習

平面$\alpha$上に、$\vec{0}$でも平行でもない２つのベクトル$\vec{a}$，$\vec{b}$があるとき、
$\vec{c}$⊥$\vec{a}$，$\vec{c}$⊥$\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{c}$が平面$\alpha$と垂直
である。
詳しくはこのページ参照。

だった。

復習より、$\vec{n}$は平面$\alpha$と垂直である。

また、点$\mathrm{A}$の座標と$\vec{n}$の成分より、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{n}=6\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 1$
         $=6$
$\vec{n}\cdot\vec{n}=1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1$
       $=3$
である。

別解

$\vec{n}\cdot\vec{n}$は、
$\vec{n}\cdot\vec{n}=|\vec{n}|^{2}$
       $=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}^{2}$
       $=3$
としても求められる。

解答キ：６, ク：３

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}$
とおいたので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{n}=\left(r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}\right)\cdot\vec{n}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{n}$$=r\vec{n}\cdot\vec{n}+s\vec{p}\cdot\vec{n}+t\vec{q}\cdot\vec{n}$式Ｃ

ここで、
キより$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{n}=6$ クより$\vec{n}\cdot\vec{n}=3$ $\vec{n}$⊥$\vec{p}$より$\vec{n}\cdot\vec{p}=0$ $\vec{n}$⊥$\vec{q}$より$\vec{n}\cdot\vec{q}=0$

なので、式Ｃは
$r\cdot 3+s\cdot 0+t\cdot 0=6$
$3r=6$
$r=2$
となる。

解答ケ：２

同じ作業を$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{p}$と$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{q}$でも行う。

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{p}=\left(r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}\right)\cdot\vec{p}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{p}$$=r\vec{n}\cdot\vec{p}+s\vec{p}\cdot\vec{p}+t\vec{q}\cdot\vec{p}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{p}$$=r\vec{n}\cdot\vec{p}+s\left|\vec{p}\right|^{2}+t\vec{q}\cdot\vec{p}$式Ｄ

ここで、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{p}=6\cdot 2+(-1)(-1)+1\cdot(-1)$
         $=12$ アより$\left|\vec{p}\right|=\sqrt{6}$ $\vec{n}$⊥$\vec{p}$より$\vec{n}\cdot\vec{p}=0$ $\vec{p}$⊥$\vec{q}$より$\vec{p}\cdot\vec{q}=0$

なので、式Ｄは
$r\cdot 0+s\cdot\sqrt{6}^{2}+t\cdot 0=12$
$6s=12$
$s=2$
となる。

解答コ：２

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{q}=\left(r\vec{n}+s\vec{p}+t\vec{q}\right)\cdot\vec{q}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{q}$$=r\vec{n}\cdot\vec{q}+s\vec{p}\cdot\vec{q}+t\vec{q}\cdot\vec{q}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{q}$$=r\vec{n}\cdot\vec{q}+s\vec{p}\cdot\vec{q}+t\left|\vec{q}\right|^{2}$式Ｅ

ここで、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{q}=6\cdot 0+(-1)\cdot 1+1\cdot(-1)$
         $=-2$ イより$\left|\vec{q}\right|=\sqrt{2}$ $\vec{n}$⊥$\vec{q}$より$\vec{n}\cdot\vec{q}=0$ $\vec{p}$⊥$\vec{q}$より$\vec{p}\cdot\vec{q}=0$

なので、式Ｅは
$r\cdot 0+s\cdot 0+t\cdot\sqrt{2}^{2}=-2$
$2t=-2$
$t=-1$
となる。

解答サ：－, シ：１

アドバイス

以上、問題文の誘導するとおりに解いた。
でも、この解き方をすると計算が面倒になりがちなので要注意だ。今回 面倒な計算にならなかったのは、基準となるベクトル$\vec{n}$，$\vec{p}$，$\vec{q}$が互いに垂直だったから。
一般的な解法で解くと、次の別解のようになる。センター試験本番では、別解の方法で解いてもらっても全く問題ない。

次は$u$だ。
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}\cdot\vec{n}$を使ってケを求めたのと同じことを、$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\vec{n}$でもやる。

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=u\vec{n}+v\vec{p}+w\vec{q}$
とおいたので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\vec{n}=\left(u\vec{n}+v\vec{p}+w\vec{q}\right)\cdot\vec{n}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\vec{n}$$=u\vec{n}\cdot\vec{n}+v\vec{p}\cdot\vec{n}+w\vec{q}\cdot\vec{n}$式Ｈ

ここで、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}\cdot\vec{n}=1\cdot 1+6\cdot 1+2\cdot 1$
         $=9$ クより$\vec{n}\cdot\vec{n}=3$ $\vec{n}$⊥$\vec{p}$より$\vec{n}\cdot\vec{p}=0$ $\vec{n}$⊥$\vec{q}$より$\vec{n}\cdot\vec{q}=0$

なので、式Ｈは
$u\cdot 3+s\cdot 0+t\cdot 0=9$
$3u=9$
$u=3$
となる。

解答ス：３

アドバイス

スも、ケ～サシの別解のように解くのが一般的だ。
一般的な方法で解くと、次の別解のようになる。センター試験本番では、こちらの方法で解いてもらっても全く問題ない。

ケ～サシより、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=-2\vec{n}+2\vec{p}-\vec{q}$
これに各ベクトルの成分を代入して、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=-2(1,1,1)+2(2,-1,-1)-(0,1,-1)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$$=(-2,-2,-2)+(4,-2,-2)+(0,-1,1)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$$=(-2+4,-2-2-1,-2-2+1)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$$=(2,-5,-3)$
である。

解答セ：２, ソ：－, タ：５, チ：－, ツ：３

以上より、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=2\vec{n}+2\vec{p}-\vec{q}=(6,-1,1)$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=3\vec{n}+v\vec{p}+w\vec{q}=(1,6,2)$ $\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=-2\vec{n}+2\vec{p}-\vec{q}=(2,-5,3)$ であることが分かった。

図Ｄのように、$\mathrm{BC}$と平面$\alpha$の交点を$\mathrm{M}$、点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を点$\mathrm{H}$，点$\mathrm{I}$とする。
$\vec{p}$，$\vec{q}$は平面$\alpha$上のベクトル $\vec{n}$⊥$\vec{p}$，$\vec{n}$⊥$\vec{q}$なので、平面$\alpha$と$\vec{n}$は垂直 なので、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=$$2\vec{n}$$+$$2\vec{p}-\vec{q}$
の赤い部分が$\vec{\mathrm{H}\mathrm{A}}$，緑の部分が$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$にあたる。

同様に、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}=$$3\vec{n}$$+$$v\vec{p}+w\vec{q}$
の赤い部分が$\vec{\mathrm{I}\mathrm{B}}$，緑の部分が$\vec{\mathrm{O}\mathrm{I}}$に、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}=$$-2\vec{n}$$+$$2\vec{p}-\vec{q}$
の赤い部分が$\vec{\mathrm{H}\mathrm{B}}$，緑の部分が$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}$にあたる。

以上より、
$\mathrm{IB}:\mathrm{HC}=3:2$ 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{C}$は平面$\alpha$に関して対称な点 であることが分かる。

よって、図Ｄの緑の三角形と青い三角形は相似で、相似比は
$3:2$
だから、
$\mathrm{AM}:\mathrm{CM}=3:2$
である。

解答テ：２

このことから、点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{BC}$を$3:2$に内分する点なので、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{2\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}+3\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}}{3+2}$
と表せる。
これに$\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$，$\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}$の成分を代入して、
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}=\frac{2(1,6,2)+3(2,-5,-3)}{3+2}$

途中式

$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$$\displaystyle =\frac{(2,12,4)+(6,-15,-9)}{5}$
$\displaystyle \vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$$\displaystyle =\frac{(8,-3,-5)}{5}$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$$=\left(\frac{8}{5},\frac{-3}{5},\frac{-5}{5}\right)$

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{M}}$$=\left(\frac{8}{5},-\frac{3}{5},-1\right)$
である。

解答ト：８, ナ：５, ニ：－, ヌ：３, ネ：５, ノ：－, ハ：１