大学入試センター試験 2018年(平成30年) 追試 数学ⅡB 第1問 [2] 解説

(1)

まず、指数関数のグラフを思いだそう。

復習

指数関数の$y=a^{x}$のグラフ

$0 \lt a \lt 1$のとき
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅡB第1問[2] 復習図
$1 \lt a$のとき
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅡB第1問[2] 復習図

復習より、$y=a^{x}$のグラフは常に$x$軸よりも上にあるから、$0 \lt y$である。
よって、
$X=2^{x}$式A
のとき、
$0 \lt X$
である。

解答チ:1

式①を変形して、
途中式 $4^{x+a}-2^{x+a}+a=0$
$4^{a}\cdot 4^{x}-2^{a}\cdot 2^{x}+a=0$
$(2^{2})^{a}\cdot(2^{2})^{x}-2^{a}\cdot 2^{x}+a=0$
$2^{2a}\cdot(2^{x})^{2}-2^{a}\cdot 2^{x}+a=0$
これに式Aを代入すると
$2^{2a}\cdot X^{2}-2^{a}\cdot X+a=0$
ができる。

解答ツ:2, テ:a, ト:a

式②の判別式をとると、
$D=(2^{a})^{2}-4\cdot 2^{2a}\cdot a$
$D$$=2^{2a}-4\cdot 2^{2a}\cdot a$
$D$$=2^{2a}(1-4a)$
となる。

解答ナ:1, ニ:4

(2)

ここで、ちょっと遠回りな気がするかも知れないけれど、式②の方程式を
$y=2^{2a}\cdot X^{2}-2^{a}\cdot X+a$式B
とおいたグラフを考えておこう。

復習

$y=ax^{2}+bx+c$のグラフの頂点の$x$座標は
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$
だった。

より、式Bのグラフの頂点の$X$座標は、
$\displaystyle \frac{2^{a}}{2\cdot 2^{2a}}=\frac{2^{a}}{2\cdot(2^{a})^{2}}$
          $=\displaystyle \frac{1}{2\cdot 2^{a}}$
          $=\displaystyle \frac{1}{2^{a+1}}$
となるけど、(1)の復習より、
$0 \lt 2^{a+1}$
なので、
$0 \lt \displaystyle \frac{1}{2^{a+1}}$
である。

また、より、定義域は
$0 \lt X$
である。

また、$a=\displaystyle \frac{1}{4}$のとき$D=0$である。
よって、このときの式Bのグラフは、定義域を緑の部分($y$軸は含まない)として、図Aになる。

図A
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅡB第1問[2] 解説図A

グラフと$X$軸の接点(図Aの赤い点)は定義域に含まれているので、この$X$座標が式②の方程式の解だ。
よって、②の解は
$X=\displaystyle \frac{1}{2^{a+1}}$
だけど、$a=\displaystyle \frac{1}{4}$なので、
$X=\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{1}{4}+1}}$
$X$$\displaystyle =\frac{1}{2^{\frac{5}{4}}}$
である。

これを式Aに代入して、
$2^{x}=\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{5}{4}}}$
$2^{x}$$=2^{-\frac{5}{4}}$
より
$x=-\displaystyle \frac{5}{4}$
となる。

解答ヌ:-, ネ:5, ノ:4

(3)

$a\displaystyle \neq\frac{1}{4}$のとき、$D\neq 0$なので、式Bは図Bのようなグラフのいずれかになる。

図B
大学入試センター試験2018年追試 数学ⅡB第1問[2] 解説図B

このうち、
青いグラフは、$X$軸との共有点がない。なので、②の方程式は解を持たないので、不適。 オレンジのグラフは、定義域に$X$軸との共有点が2つある。なので、②の方程式は異なる2つの解を持つので、不適。 よって、赤いグラフが求める場合だ。
このグラフになる条件を考える。

こんなときには、定義域の端に注目する。
つまり、赤いグラフになるためには、
$X=0$のとき$y\leqq 0$ になればよい。
ということで、式Bに$X=0$を代入して
$y=a$
これが$y\leqq 0$になればよいので、
$a\leqq 0$
が赤いグラフになる条件だ。

解答ハ:3

このときの解は、図Bの赤い点の$X$座標。
②は因数分解できないので、ちょっと面倒だけど解の公式を使おう。

解の公式より、
$X=\displaystyle \frac{2^{a}\pm\sqrt{(2^{a})^{2}-4\cdot 2^{2a}\cdot a}}{2\cdot 2^{2a}}$
途中式 $X\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2^{a}\pm\sqrt{(2^{a})^{2}(1-4a)}}{2\cdot 2^{2a}}$
$X\displaystyle $$\displaystyle =\frac{2^{a}\pm 2^{a}\sqrt{1-4a}}{2\cdot 2^{2a}}$
$X\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1\pm\sqrt{1-4a}}{2\cdot 2^{a}}$
だけど、求める解は2つの解の大きい方なので、
$X\displaystyle =\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2\cdot 2^{a}}$
である。
でも、求める解は$x$で、$X$じゃない。
なので、もうちょっと計算だ。

上の$X$の解を式Aに代入して、
$2^{x}=\displaystyle \frac{1+\sqrt{1-4a}}{2\cdot 2^{a}}$
分母を払って、
$2\cdot 2^{a}\cdot 2^{x}=1+\sqrt{1-4a}$
$2^{x+a+1}=1+\sqrt{1-4a}$
両辺の底が$2$の対数をとって、
$\log_{2}2^{x+a+1}=\log_{2}(1+\sqrt{1-4a})$
$(x+a+1)\log_{2}2=\log_{2}(1+\sqrt{1-4a})$
$\log_{2}2=1$なので、
$x+a+1=\log_{2}(1+\sqrt{1-4a})$
$x=-a-1+\log_{2}(1+\sqrt{1-4a})$
となる。

解答ヒ:-, フ:1, ヘ:1