大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試 数学ⅠA 第1問 [1] 解説

解説

$9a^{2}-6a+1$
を因数分解すると、
$9a^{2}-6a+1=(3a-1)^{2}$
である。

解答ア:3, イ:1


先に進む前に、少し復習をしておこう。
まず平方根の性質について。

復習

$\sqrt{\alpha^{2}}=\left|\alpha\right|$

だった。

上の復習より、$A$は、
$A=\sqrt{(3a-1)^{2}}+\left|a+2\right|$
$A$$=\left|3a-1\right|+\left|a+2\right|$式A
と変形できる。

今から式Aの絶対値をはずしたいんだけど、まず復習から。
この機会に、場合分けをして絶対値をはずす復習をしておこう。

復習

$\left|\alpha\right|=\left\{\begin{array}{ll} -\alpha & (\alpha\leqq 0)\\ \alpha & (0\leqq\alpha) \end{array}\right.$

だった。

復習より、式Aの$\left|3a-1\right|$の部分は、
$3a-1\leqq 0$
つまり
$3a\leqq 1$
$a\displaystyle \leqq\frac{1}{3}$
のとき、
$\left|3a-1\right|=-(3a-1)$
$0\leqq 3a-1$
つまり
$1\leqq 3a$
$\displaystyle \frac{1}{3}\leqq a$
のとき、
$\left|3a-1\right|=(3a-1)$
とかける。

また、$\left|a+2\right|$の部分は
$a+2\leqq 0$
つまり
$a\leqq-2$
のとき、
$\left|a+2\right|=-(a+2)$
$0\leqq a+2$
つまり
$-2\leqq a$
のとき、
$\left|a+2\right|=(a+2)$
とかける。

以上をまとめると、表Aができる。

表A
$a\leqq-2$
のとき
$-2\displaystyle \leqq a\leqq\frac{1}{3}$
のとき
$\displaystyle \frac{1}{3}\leqq a$
のとき
$\left|3a-1\right|=$ $-(3a-1)$ $(3a-1)$
$\left|a+2\right|=$ $-(a+2)$ $(a+2)$
$A=$ $-(3a-1)$    
    $-(a+2)$
式B
$-(3a-1)$    
    $+(a+2)$
式C
$(3a-1)$    
    $+(a+2)$
式D

表Aより、
$\displaystyle \frac{1}{3} \lt a$のとき、$A$は式Dなので
$A=(3a-1)+(a+2)$
$A$$=4a+1$
$-2\displaystyle \leqq a\leqq\frac{1}{3}$のとき、$A$は式Cなので
$A=-(3a-1)+(a+2)$
$A$$=-2a+3$
$a \lt -2$のとき、$A$は式Bなので
$A=-(3a-1)-(a+2)$
$A$$=-4a-1$
である。

解答ウ:4, エ:1, オ:-, カ:2, キ:3


この$A$が$2a+13$となるので、

$\displaystyle \frac{1}{3} \lt a$のとき、
$4a+1=2a+13$
より
$2a=12$
$a=6$

$-2\displaystyle \leqq a\leqq\frac{1}{3}$のとき、
$-2a+3=2a+13$
より
$4a=-10$
$a=-\displaystyle \frac{5}{2}$
だけど、これは$-2\displaystyle \leqq a\leqq\frac{1}{3}$の範囲に入らないので不適。

$a \lt -2$のとき、
$-4a-1=2a+13$
より
$6a=-14$
$a=-\displaystyle \frac{7}{3}$

である。

解答ク:6, ケ:-, コ:7, サ:3