まず$E(X^{2})$を求める。
上の復習で、$X^{2}$の平均値が含まれるのは式Ａだけ。
なので、式Ａを使う。

問題文より、$E(X)=-7$ 問題文より$\sigma(X)=5$なので、式Ｂより、
$\sqrt{V(X)}=5$
$V(X)=25$

以上を式Ａに代入して、
$25=E(X^{2})-(-7)^{2}$
$E(X^{2})=25+49$
$E(X^{2})$$=74$
であることが分かる。

解答ア：７, イ：４

さらに、$W=1000X$は、式Ｃの
$a$を$1000$ $b$を$0$ にした場合と考えられる。

よって、$W$の
期待値（平均）は、式Ｄより
$E(W)=1000 \cdot(-7)+0$
$E(W)$$=-7\cdot 10^{3}$ 分散は、式Ｅより
$V(W)=(1000)^{2}\cdot 25$
$V(W)$$=5^{2}\cdot(10^{3})^{2}$
$V(W)$$=5^{2}\cdot 10^{6}$ である。

解答ウ：３, エ：２, オ：６

$X$は平均値が$-7$，標準偏差が$5$の正規分布に従うので、分布は図Ａのようになる。

この赤い部分の面積を求めれば、それが物質Ａの量が減少しない確率（$P(X\geqq 0)$）だ。
これを求める。

ということで、いつもの作業をしよう。
いつもの作業っていうのは、
標準化して 正規分布表を見る だ。

まず、標準化の復習から。

復習

確率変数$X$の期待値（平均）を$E(X)$，標準偏差を$\sigma(X)$とする。
$X$を標準化した確率変数を$Z$とすると、
$Z=\displaystyle \frac{X-E(X)}{\sigma(X)}$
とかける。

$X\geqq 0$
の両辺を標準化すると、上の復習より、
$\displaystyle \frac{X-(-7)}{5}\geqq\frac{0-(-7)}{5}$
となる。これを計算すると
$\displaystyle \frac{X+7}{5}\geqq\frac{7}{5}$
$\displaystyle \frac{X+7}{5}\geqq 1.4$式Ｆ
となるから、
$P(X\geqq 0)=P\left(\frac{X+7}{5}\geqq 1.4\right)$式Ｇ
である。

解答カ：１, キ：４

式Ｆの左辺の$\displaystyle \frac{X+7}{5}$は、正規分布に従う確率変数$X$を標準化したものなので、標準正規分布に従う。
問題文より、$Z$は標準正規分布に従う確率変数なので、
$\displaystyle \frac{X+7}{5}=Z$
とかける。
よって、
$P(X\geqq 0)=P(Z\geqq 1.4)$
となる。
つまり、図Ａの赤い部分の面積は、図Ｂの赤い部分の面積と等しい。

図Ｂは標準正規分布なので、正規分布表が使える。
正規分布表より、図Ｂの緑の部分の面積は
$0.4192$ 緑の部分と赤い部分を合わせた面積は
$0.5$ なので、赤い部分の面積は
赤$=0.5-0.4192$
赤$$$=0.0808$
赤$$$\doteqdot 0.08$
となる。

よって、
$P(X\geqq 0)=P(Z\geqq 1.4)$
$P(X\geqq 0)$$\doteqdot 0.08$
である。

解答ク：０, ケ：８

この正規分布に従う母集団から無作為に$50$人の標本をつくり、物質Ａの量が減少しない人数を$M$とする。
クケより、母集団中の物質Ａの量が減少しない人の比率は$0.08$なので、$M$は
$50$回の試行を行ったとき、確率$0.08$で起こる事象が何回起こるか という反復試行の問題と同じである。

反復試行なので、二項分布の復習をしよう。

復習

確率$p$で事象$\mathrm{A}$が起こる試行を$n$回繰り返し、$\mathrm{A}$が起こった回数を$M$とすると、$M$の確率分布は二項分布$B(n,p)$である。
確率変数$M$の
期待値（平均）$E(M)=np$ 分散$V(M)=np(1-p)$ 標準偏差$\sigma(M)=\sqrt{np(1-p)}$ になる。

復習より、問題の確率変数$M$は、二項分布
$B(50$，$0.08)$
に従う。
なので、$M$の
期待値$E(M)=np$
                 $=50\cdot 0.08$
                 $=4$ 標準偏差$\sigma(M)=\sqrt{n(p(1-p)}$

途中式

                    $=\sqrt{50\cdot 0.08\cdot(1-0.08)}$
                    $=\sqrt{4\cdot 0.92}$
                    $=\sqrt{3.68}$

                    $\doteqdot\sqrt{3.7}$ である。

解答コ：４, サ：０, シ：３, ス：７

ここで、正規分布表から
$|Z|\leqq 1.64$
となる確率を求める。
この式の絶対値をはずすと
$-1.64\leqq Z\leqq 1.64$
なので、求める確率は図Ｃの緑の面積だ。

正規分布表には縦軸より左の面積しか載ってないので、斜線の部分の面積を求めて２倍する。
正規分布表で$1.64$を探すと、斜線の部分の面積は
$0.4495$
緑の部分の面積は、これを２倍して
$0.4495\times 2=0.899 \doteqdot 0.90$
となる。

解答タ：９, チ：０

これを使い、信頼度$ 90\%$の母平均の信頼区間を求める。
その前に、母平均の推定について復習だ。

復習

母平均$m$の信頼区間は、標本の大きさを$n$，標本平均を$\overline{Y}$，母標準偏差を$\sigma$とすると、
$\displaystyle \overline{Y}-z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq m\leqq\overline{Y}+z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$式Ｈ
となる。ただし$z$は
信頼度$ 95\%$のとき、$z=1.96$ 信頼度$ 99\%$のとき、$z=2.58$

よって、母平均$m$の信頼区間は、式Ｈから
$-10.2-z\displaystyle \cdot\frac{6}{\sqrt{100}}\leqq m\leqq-10.2+z\cdot\frac{6}{\sqrt{100}}$式Ｉ
とかける。

ところが、信頼度$ 90\%$のときの$z$の値が分からない。
このサイトも含めて普通の解説には上の復習のように書いていて、信頼度$ 90\%$のときの$z$は載っていない。
このようなときには次のような方法をとる。

アドバイス

図Ｄを標準正規分布の確率分布図とする。
信頼度$ c\%$のとき、式Ｈの$z$の値には図Ｄの$z_{0}$を使う。

長くなるので、なぜこうなるかの理由はここでは説明しない。
詳しくはこのページを見てもらいたい。

先ほど求めたように、図Ｃの緑の部分の面積の面積は
$ 0.90=90\%$
だった。
よって、アドバイスより、式Ｉの$z$は
$z=1.64$
だ。

これを式Ｉに代入して、
$-10.2-1.64\displaystyle \cdot\frac{6}{\sqrt{100}}\leqq m\leqq-10.2+1.64\cdot\frac{6}{\sqrt{100}}$
より

途中式

$-10.2-1.64\displaystyle \cdot\frac{6}{10}\leqq m\leqq-10.2+1.64\cdot\frac{6}{10}$
$\displaystyle \frac{-102-1.64\times 6}{10}\leqq m\leqq\frac{-102+1.64\times 6}{10}$

$-11.184\leqq m\leqq-9.216$
となるので、選択肢の②が正しい。

解答ツ：２