大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試 数学ⅡB 第5問 解説

(1)

確率変数の期待値,分散,標準偏差の復習から。

復習

表のような確率分布に従う確率変数$X$があるとき、

$X$ $x_{1}$ $x_{2}$ $\cdots$ $x_{n}$
$P(X)$ $P(x_{1})$ $P(x_{2})$ $\cdots$ $P(x_{n})$ $1$

$X$の期待値(平均)$E(X)$は、
$E(X)=x_{1}\cdot P(x_{1})+x_{2}\cdot P(x_{2})+$
              $\cdots+x_{n}\cdot P(x_{n})$
$X$の分散$V(X)$は、
$V(X)=\{x_{1}-E(X)\}^{2}\cdot P(x_{1})$
              $+\{x_{2}-E(X)\}^{2}\cdot P(x_{2})$
              $\cdots+\{x_{n}-E(X)\}^{2}\cdot P(x_{n})$
$V(X)$$=E(X^{2})-\{E(X)\}^{2}$式A
$X$の標準偏差$\sigma(X)$は、
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$式B
である。

それから、確率変数の変換の復習もしておこう。

復習

確率変数$X$の
期待値(平均)を$E(X)$ 分散を$V(X)$ 標準偏差を$\sigma(X)$ とする。

$X$と定数$a$,$b$を用いて、確率変数$W$を
$W=aX+b$式C
と定める。

このとき、$W$の
期待値(平均)$E(W)=aE(X)+b$式D 分散$V(W)=a^{2}V(X)$式E 標準偏差$\sigma(W)=\sqrt{V(W)}$
                    $=|a|\sigma(X)$
である。

まず$E(X^{2})$を求める。
上の復習で、$X^{2}$の平均値が含まれるのは式Aだけ。
なので、式Aを使う。

問題文より、$E(X)=-7$ 問題文より$\sigma(X)=5$なので、式Bより、
$\sqrt{V(X)}=5$
$V(X)=25$

以上を式Aに代入して、
$25=E(X^{2})-(-7)^{2}$
$E(X^{2})=25+49$
$E(X^{2})$$=74$
であることが分かる。

解答ア:7, イ:4


さらに、$W=1000X$は、式Cの
$a$を$1000$ $b$を$0$ にした場合と考えられる。

よって、$W$の
期待値(平均)は、式Dより
$E(W)=1000 \cdot(-7)+0$
$E(W)$$=-7\cdot 10^{3}$
分散は、式Eより
$V(W)=(1000)^{2}\cdot 25$
$V(W)$$=5^{2}\cdot(10^{3})^{2}$
$V(W)$$=5^{2}\cdot 10^{6}$
である。

解答ウ:3, エ:2, オ:6

(2)

$X$は平均値が$-7$,標準偏差が$5$の正規分布に従うので、分布は図Aのようになる。

図A
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第5問 解説図A

この赤い部分の面積を求めれば、それが物質Aの量が減少しない確率($P(X\geqq 0)$)だ。
これを求める。

ということで、いつもの作業をしよう。
いつもの作業っていうのは、
標準化して 正規分布表を見る だ。


まず、標準化の復習から。

復習

確率変数$X$の期待値(平均)を$E(X)$,標準偏差を$\sigma(X)$とする。
$X$を標準化した確率変数を$Z$とすると、
$Z=\displaystyle \frac{X-E(X)}{\sigma(X)}$
とかける。

$X\geqq 0$
の両辺を標準化すると、上の復習より、
$\displaystyle \frac{X-(-7)}{5}\geqq\frac{0-(-7)}{5}$
となる。これを計算すると
$\displaystyle \frac{X+7}{5}\geqq\frac{7}{5}$
$\displaystyle \frac{X+7}{5}\geqq 1.4$式F
となるから、
$P(X\geqq 0)=P\left(\frac{X+7}{5}\geqq 1.4\right)$式G
である。

解答カ:1, キ:4


式Fの左辺の$\displaystyle \frac{X+7}{5}$は、正規分布に従う確率変数$X$を標準化したものなので、標準正規分布に従う。
問題文より、$Z$は標準正規分布に従う確率変数なので、
$\displaystyle \frac{X+7}{5}=Z$
とかける。
よって、
$P(X\geqq 0)=P(Z\geqq 1.4)$
となる。
つまり、図Aの赤い部分の面積は、図Bの赤い部分の面積と等しい。

図B
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第5問 解説図B

図Bは標準正規分布なので、正規分布表が使える。
正規分布表より、図Bの緑の部分の面積は
$0.4192$
緑の部分と赤い部分を合わせた面積は
$0.5$
なので、赤い部分の面積は
赤$=0.5-0.4192$
赤$$$=0.0808$
赤$$$\doteqdot 0.08$
となる。

よって、
$P(X\geqq 0)=P(Z\geqq 1.4)$
$P(X\geqq 0)$$\doteqdot 0.08$
である。

解答ク:0, ケ:8


この正規分布に従う母集団から無作為に$50$人の標本をつくり、物質Aの量が減少しない人数を$M$とする。
クケより、母集団中の物質Aの量が減少しない人の比率は$0.08$なので、$M$は
$50$回の試行を行ったとき、確率$0.08$で起こる事象が何回起こるか という反復試行の問題と同じである。

反復試行なので、二項分布の復習をしよう。

復習

$n$回の試行で確率$p$の事象が起こる回数を$M$とすると、
$M$は二項分布$B(n$,$p)$に従い、
期待値(平均)$E(M)=np$ 分散$V(M)=np(1-p)$ 標準偏差$\sigma(M)=\sqrt{np(1-p)}$ となる。

復習より、問題の確率変数$M$は、二項分布
$B(50$,$0.08)$
に従う。
なので、$M$の
期待値$E(M)=np$
                 $=50\cdot 0.08$
                 $=4$
標準偏差$\sigma(M)=\sqrt{n(p(1-p)}$
                    $=\sqrt{50\cdot 0.08\cdot(1-0.08)}$
                    $=\sqrt{4\cdot 0.92}$
                    $=\sqrt{3.68}$
                    $\doteqdot\sqrt{3.7}$
である。

解答コ:4, サ:0, シ:3, ス:7

(3)

まず、標本平均の期待値と標準偏差の復習をしよう。

復習

平均$m$,標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を無作為に取り出すとき、標本平均$\overline{Y}$の
期待値(平均)$E(\overline{Y})=m$ 分散$V(\displaystyle \overline{Y})=\frac{\sigma^{2}}{n}$ 標準偏差$\displaystyle \sigma(\overline{Y})=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ である。

いま、
母平均は$m$ 母標準偏差は$6$ 標本の大きさは$100$ なので、復習より、問題の標本平均$\overline{Y}$の
期待値(平均)$E(\overline{Y})=m$ 標準偏差$\displaystyle \sigma(\overline{Y})=\frac{6}{\sqrt{100}}$
                   $=0.6$
となる。

解答セ:0, ソ:6


さらに、標本平均の分布について復習する。

復習

母平均$\mu$,母標準偏差$\sigma$の母集団から大きさ$n$の標本を取り出す。
このとき、標本平均は
母集団が正規分布に従うときには $n$の値にかかわらす完全に、 その他の分布のときには $n$が大きければ近似的に、 正規分布
$\displaystyle N\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right)$
に従う。

問題の確率変数$Y$はどんな確率分布をとるか分からないけれど、標本の大きさの$100$が大きい数だとすると、復習より、
$\overline{Y}$は近似的に正規分布$N\left(m,\frac{6^{2}}{100}\right)$に従う。

また、問題文中の式
$Z=\displaystyle \frac{\overline{Y}-m}{\fbox{$\text{ セ }$}.\fbox{$\text{ ソ }$}}$
の右辺は、(2)の標準化の復習を見てもらうと分かるように$\overline{Y}$を標準化する式だ。
先に考えたように$\overline{Y}$は近似的に正規分布に従うから、それを標準化した$Z$は近似的に標準正規分布に従う。


ここで、正規分布表から
$|Z|\leqq 1.64$
となる確率を求める。
この式の絶対値をはずすと
$-1.64\leqq Z\leqq 1.64$
なので、求める確率は図Cの緑の面積だ。

図C
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第5問 解説図C

正規分布表には縦軸より左の面積しか載ってないので、斜線の部分の面積を求めて2倍する。
正規分布表で$1.64$を探すと、斜線の部分の面積は
$0.4495$
緑の部分の面積は、これを2倍して
$0.4495\times 2=0.899 \doteqdot 0.90$
となる。

解答タ:9, チ:0


これを使い、信頼度$ 90\%$の母平均の信頼区間を求める。
その前に、母平均の推定について復習だ。

復習

母平均$m$の信頼区間は、標本の大きさを$n$,標本平均を$\overline{Y}$,母標準偏差を$\sigma$とすると、
$\displaystyle \overline{Y}-z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\leqq m\leqq\overline{Y}+z\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$式H
となる。ただし$z$は
信頼度$ 95\%$のとき、$z=1.96$ 信頼度$ 99\%$のとき、$z=2.56$

よって、母平均$m$の信頼区間は、式Hから
$-10.2-z\displaystyle \cdot\frac{6}{\sqrt{100}}\leqq m\leqq-10.2+z\cdot\frac{6}{\sqrt{100}}$式I
とかける。

ところが、信頼度$ 90\%$のときの$z$の値が分からない。
このサイトも含めて普通の解説には上の復習のように書いていて、信頼度$ 90\%$のときの$z$は載っていない。
このようなときには次のような方法をとる。

アドバイス

図D
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第5問 解説図D

図Dを標準正規分布の確率分布図とする。
信頼度$ c\%$のとき、式Hの$z$の値には図Dの$z_{0}$を使う。

長くなるので、なぜこうなるかの理由はここでは説明しない。
詳しくはこのページを見てもらいたい。

先ほど求めたように、図Cの緑の部分の面積の面積は
$ 0.90=90\%$
だった。
よって、アドバイスより、式Iの$z$は
$z=1.64$
だ。

これを式Iに代入して、
$-10.2-1.64\displaystyle \cdot\frac{6}{\sqrt{100}}\leqq m\leqq-10.2+1.64\cdot\frac{6}{\sqrt{100}}$
より
途中式 $-10.2-1.64\displaystyle \cdot\frac{6}{10}\leqq m\leqq-10.2+1.64\cdot\frac{6}{10}$
$\displaystyle \frac{-102-1.64\times 6}{10}\leqq m\leqq\frac{-102+1.64\times 6}{10}$
$-11.184\leqq m\leqq-9.216$
となるので、選択肢の②が正しい。

解答ツ:2