$f(x)$が$x=-1$で極値をとるので、
$f'(-1)=0$式Ａ
である。

解答ア：０

ここで
$f'(x)=3x^{2}+2px+q$
だから、式Ａより
$3(-1)^{2}+2(-1)p+q=0$
なので
$3-2p+q=0$
$q=2p-3$式Ｂ
とかける。

また、$x=-1$のときの極値が$2$なので、
$f(-1)=2$
となるから
$(-1)^{3}+(-1)^{2}p+(-1)q=2$
より
$-1+p-q=2$
$p-q=3$式Ｃ
となる。

式Ｂと式Ｃの連立方程式を解く。
式Ｃに式Ｂを代入して、
$p-(2p-3)=3$
$p-2p+3=3$
$p=0$

これを式Ｂに代入して、
$q=2\cdot 0-3$
$q$$=-3$
である。

解答イ：０, ウ：－, エ：３

よって、
$f(x)=x^{3}-3x$
$f'(x)=3x^{2}-3$式Ｄ
$f'(x)$$=3(x^{2}-1)$
$f'(x)$$=3(x+1)(x-1)$
となる。

以上より増減表を書くと、

$x$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$f'(x)$	$\nearrow$	$0$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$
$f(x)$		$2$		$f(1)$

となる。
増減表より、極小値は
$x=1$
のとき
$f(1)=1^{3}-3\cdot 1$
$f(1)$$=-2$
である。

解答オ：１, カ：－, キ：２

次は放物線の接線の問題だ。

基本に忠実に、まずは接線$\ell$の傾きから。
$D$の式
$y=-kx^{2}$
を微分して、
$y'=-2kx$
点Ａにおける接線なので、これに$x=a$を代入して、接線$\ell$の傾きは
$-2ka$
である。

また、$\ell$は点Ａ$(a$，$-ka^{2})$を通る。

よって、$\ell$の式は
$y-(-ka^{2})=-2ka(x-a)$
とかける。
これを変形して、$\ell$の式は
$y=-2kax+2ka^{2}-ka^{2}$
$y$$=-2kax+ka^{2}$①
である。

解答ク：－, ケ：２, コ：２

$\ell$と$x$軸の交点の$x$座標は、式①に$y=0$を代入して、
$-2kax+ka^{2}=0$
$2kax=ka^{2}$
$x\displaystyle =\frac{a}{2}$
である。

解答サ：ａ, シ：２

ここまでで分かったことを図にすると、図Ａができる、

図Ａのオレンジの部分の面積$S$を求める。
問題文の流れ通り、赤で囲んだ部分の面積から青い部分の面積を引こう。

赤で囲んだ部分の面積は、
赤 $=-\displaystyle \int_{0}^{a}(-kx^{2})dx$

途中式

赤$=\displaystyle \int_{0}^{a}kx^{2}dx$
赤$=\displaystyle \left[\frac{k}{3}x^{3}\right]_{0}^{a}$

赤$\displaystyle =\frac{k}{3}a^{3}$
である。

解答ス：３, セ：３

青い部分の面積は、三角形の面積の公式より、
青 $=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot$底辺$\cdot$高さ

途中式

青$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\left(a-\frac{a}{2}\right)(0-ka^{2})$
青$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\cdot ka^{2}$

青$\displaystyle =\frac{k}{4}a^{3}$
である。

$S=$赤$-$青
なので、
$S=\displaystyle \frac{k}{3}a^{3}-\frac{k}{4}a^{3}$

途中式

$S$$=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)ka^{3}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{12}ka^{3}$

$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{k}{12}a^{3}$
となる。

解答ソ：１, タ：２

点Ａが$C$上にあり、$\ell$が$C$に接するので、図Ｂのようなグラフが考えられる

このとき、
点Ａが$C$上にあるので、$(a$，$-ka^{2})$を$C$の式に代入して、
$-ka^{2}=a^{3}-3a$
$k=\displaystyle \frac{a^{3}-3a}{-a^{2}}$

途中式

$k\displaystyle $$\displaystyle =\frac{a^{3}}{-a^{2}}+\frac{-3a}{-a^{2}}$
$k\displaystyle $$\displaystyle =-a+\frac{3}{a}$

$k\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{a}-a$式Ｅ
である。

解答チ：３, ツ：ａ, テ：ａ

さらに、$\ell$が$C$に接するので、(2)で式①をつくったように $\ell$の式をもうひとつ作ろう。
$C$と$\ell$の接点を$(b$，$b^{3}-3b)$とする。

まずは接線$\ell$の傾きから。
$(b$，$b^{3}-3b)$における接線なので、式Ｄに$x=b$を代入して、接線$\ell$の傾きは
$3b^{2}-3$
である。

また、$\ell$は$(b$，$b^{3}-3b)$を通る。

よって、$\ell$の式は
$y-(b^{3}-3b)=(3b^{2}-3)(x-b)$

途中式

$y=(3b^{2}-3)(x-b)+(b^{3}-3b)$
$y$$=(3b^{2}-3)x-(3b^{3}-3b)+(b^{3}-3b)$

$y=3(b^{2}-1)x-2b^{3}$②
である。

解答ト：３, ナ：１, ニ：２

ここまでは悩むことはないけど、次の行の
$f(x)-g(x)=(x-$ヌ$)^{2}(x+$ネ$b)$
の左辺の
$f(x)-g(x)$
が何を意味するのか分からない人もいると思う。
この式の意味が分からなくても問題は解けるけど、せっかくだから説明しておこう。

以上の説明より
$f(x)-g(x)=0$式Ｆ
の解は$C$と$\ell$の共有点だけど、$f(x)-g(x)$を作っているので共有点を求めよと言うのだろう。

$f(x)=x^{3}-3x$ $g(x)=3(b^{2}-1)x-2b^{3}$ なので、
$f(x)-g(x)=(x^{3}-3x)-\{3(b^{2}-1)x-2b^{3}\}$

途中式

$f(x)-g(x)$$=x^{3}-3x-3(b^{2}-1)x+2b^{3}$
$f(x)-g(x)$$=x^{3}-3(1+b^{2}-1)x+2b^{3}$

$f(x)-g(x)$$=x^{3}-3b^{2}x+$$2b^{3}$式Ｇ
とかける。

この式Ｇからヌネの式をつくる。
三次式なので面倒に見えるけど、$C$と$\ell$は$x=b$で接する。
なので、式Ｆは$x=b$の重解をもつはずだから、式Ｇは
$f(x)-g(x)=(x-b)^{2}(x+$$Q$$)$式Ｇ'
と因数分解できるはずだ。

解答ヌ：ｂ

ここまでくると、式Ｇを因数分解して式Ｇ'を作るより、式Ｇ'を展開して式Ｇと見比べた方が早い。
今は$Q$が分かればよいので、定数項だけを展開して、
$(-b)^{2}\times Q=Qb^{2}$
これが式Ｇの定数項（赤い部分）だから、
$Qb^{2}=2b^{3}$
$Q=2b$
なので、式Ｇ'は
$f(x)-g(x)=(x-b)^{2}(x+$$2b$$)$
となる。

解答ネ：２

以上より、$C$と$\ell$の共有点の$x$座標は
$b$，$-2b$
であることが分かった。

一方、図Ｂより、$C$と$\ell$の共有点の$x$座標は
$b$，$a$
だから、
$a=-2b$式Ｈ
である。

また、式①の
$y=$$-2ka$$x$$+ka^{2}$
と、式②の
$y=$$3(b^{2}-1)$$x$$-2b^{3}$
は両方とも$\ell$の式だから、同じ式である。
２つの式の$x$の係数（赤い部分）・定数項（青い部分）は等しいので、

	$-2ka=3(b^{2}-1)$	式Ｉ
	$ka^{2}=-2b^{3}$	式Ｊ

とかける。

傾きを使うように指示があるので、式Ｉを使う。
式Ｊを使っても同じ答えが出るけど、計算が面倒だ。

$a^{2}$の値を求めるんだけど、式Ｉを見ると、
$k$ $b^{2}$ が含まれている。
じゃまなので消そう。

式Ｈの両辺を２乗して、
$a^{2}=4b^{2}$
$b^{2}=\displaystyle \frac{a^{2}}{4}$
これと、式Ｅを式Ｉに代入して、
$-2\left(\frac{3}{a}-a\right)a=3\left(\frac{a^{2}}{4}-1\right)$

途中式

$-6+2a^{2}=\displaystyle \frac{3}{4}a^{2}-3$
$2a^{2}-\displaystyle \frac{3}{4}a^{2}=3$
両辺を$4$倍して、
$8a^{2}-3a^{2}=12$
$5a^{2}=12$

$a^{2}=\displaystyle \frac{12}{5}$式Ｋ
となる。

解答ノ：１, ハ：２, ヒ：５

もう少しだ。
最後に、このときの$S$を求める。

(2)のソタで求めたように、$S$は
$S=\displaystyle \frac{k}{12}a^{3}$式Ｌ
だった。
まず$k$を消す。

式Ｌに式Ｅを代入して、
$S=\displaystyle \frac{\frac{3}{a}-a}{12}\cdot a^{3}$

途中式

$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{12}\left(\frac{3}{a}-a\right)a^{3}$

$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{12}(3a^{2}-a^{4})$

これに式Ｋを代入して、このときの$S$は、
$S=\displaystyle \frac{1}{12}\left\{3\cdot\frac{12}{5}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}\right\}$

途中式

$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{5}-\frac{12}{5^{2}}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{15}{25}-\frac{12}{25}$

$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3}{25}$
である。

解答フ：３, ヘ：２, ホ：５