等比数列の和の公式から、
$S_{n}=\displaystyle \frac{3(1-4^{n})}{1-4}$
$S_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3(1-4^{n})}{-3}$
$S_{n}$$=-(1-4^{n})$
$S_{n}$$=4^{n}-1$
となる。

解答エ：４, オ：１, カ：１

また、数列$\{T_{n}\}$の階差数列が$\{S_{n}\}$なので、$2\leqq n$のとき、階差数列の公式より
$T_{n}=T_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}S_{k}$
$T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-1+\sum_{k=1}^{n-1}(4^{k}-1)$

これは$n=1$のときも成り立つ。

解答キ：４, ク：１, ケ：３, コ：４, サ：３

$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}+2T_{n}}{n}$
なので、
$b_{1}=\displaystyle \frac{a_{1}+2T_{1}}{1}$
$b_{1}$$=a_{1}+2T_{1}$式Ｂ
とかける。
問題文より
$a_{1}=-3$ $T_{1}=-1$ なので、式Ｂは
$b_{1}=-3+2\cdot(-1)$
$b_{1}$$=-5$
となる。

解答シ：－, ス：５

次に、$\{T_{n}\}$の漸化式をつくる。
$T_{n}$の式は(2)で求めた一般項（式Ａ）だけしかない。
これを使ってセ～タの式を作るわけだ。

セ～タの式を見ると、$T_{n+1}$と$T_{n}$があるので、まずこれを作ろう。
式Ａより、
$T_{n}=\displaystyle \frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}$ 式Ａの$n$に$n+1$を代入して、
$T_{n+1}=\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}-(n+1)-\frac{4}{3}$
$T_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{n+1}}{3}-n-\frac{7}{3}$式Ｃ とすると、$T_{n+1}$と$T_{n}$はできたけど、セ～タの式にはない$\displaystyle \frac{4^{n}}{3}$，$\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}$もできてしまった。
$\displaystyle \frac{4^{n}}{3}$を$\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}$にそろえて加減法で消そう。

式Ａの両辺を$4$倍して、
$4T_{n}=4\displaystyle \cdot\frac{4^{n}}{3}-4n-4\cdot\frac{4}{3}$
$4T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{n+1}}{3}-4n-\frac{16}{3}$
これを式Ｃから辺々引いて、

より
$T_{n+1}-4T_{n}=3n+3$
$T_{n+1}=4T_{n}+3n+3$
という漸化式ができる。

解答セ：４, ソ：３, タ：３

$b_{n}$の式
$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}+2T_{n}}{n}$
を変形すると
$nb_{n}=a_{n}+2T_{n}$
$a_{n}=nb_{n}-2T_{n}$
となるから、
$\left\{\begin{array}{l}
a_{n}=nb_{n}-2T_{n}\\
a_{n+1}=(n+1)b_{n+1}-2T_{n+1}
\end{array}\right.$式Ｄ
である。

これを$\{a_{n}\}$の漸化式に代入する。
問題文中の
$na_{n+1}=4(n+1)a_{n}+8T_{n}$
に式Ｄを代入して、
$n\{(n+1)b_{n+1}-2T_{n+1}\}$
        $=4(n+1)(nb_{n}-2T_{n})+8T_{n}$

セ～タより
$T_{n+1}=4T_{n}+3n+3$
なので、これを式Ｅに代入して、
$n(n+1)b_{n+1}$
        $=4n(n+1)b_{n}-8nT_{n}+2n(4T_{n}+3n+3)$

解答チ：４, ツ：６

式Ｈの小さな文字を消して
$b=4b+6$
これを解くと
$3b=-6$
$b=-2$
なので、式Ｈの両辺から$-2$を引いて、
$b_{n+1}+2=4b_{n}+6+2$
$b_{n+1}+2$$=4b_{n}+8$
$b_{n+1}+2$$=4(b_{n}+2)$式Ｉ

$b_{n}+2=Z_{n}$式Ｊ
とおくと、式Ｉは
$Z_{n+1}=4Z_{n}$
となるので、$\{Z_{n}\}$は公比が$4$の等比数列である。

また
$Z_{1}=b_{1}+2$
で、シスより
$b_{1}=-5$
だから
$Z_{1}=-5+2$
$Z_{1}$$=-3$
なので、
$Z_{n}=-3\cdot 4^{n-1}$
である。

これを式Ｊに代入して、
$b_{n}+2=-3\cdot 4^{n-1}$
$b_{n}=-3\cdot 4^{n-1}-2$
である。

解答テ：－, ト：３, ナ：０, ニ：２

この$\{b_{n}\}$の一般項
$b_{n}=-3\cdot 4^{n-1}-2$
と、キ～サで求めた$\{T_{n}\}$の一般項
$T_{n}=\displaystyle \frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}$
を、$b_{n}$の式
$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}+2T_{n}}{n}$
に代入すれば$a_{n}$が求められる。

$b_{n}$の式に$b_{n}$，$T_{n}$を代入して、
$-3\displaystyle \cdot 4^{n-1}-2=\frac{a_{n}+2\left(\frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}\right)}{n}$

解答ヌ：－, ネ：９, ノ：８, ハ：８, ヒ：３