大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試 数学ⅡB 第3問 解説

(1)

初項が$3$,公比が$4$の等比数列は、
初項が$3$ 第二項が$3\times 4=12$ なので、
$S_{2}=3+12$
$S_{2}$$=15$
である。

解答ア:1, イ:5


また、数列$\{T_{n}\}$の階差数列が$\{S_{n}\}$なので、アイで求めたこととあわせて、図Aのようになる。

図A
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第3問 解説図A

図Aより、
$T_{2}=-1+3$
$T_{2}$$=2$
である。

解答ウ:2

別解

(2)で$\{S_{n}\}$,$\{T_{n}\}$の一般項を問われているので、上の解説では一般項を使わずに解いた。
けれど、どうせ(2)で一般項を答えるのなら、先に求めておいた方が楽とも考えられるし。
先に一般項を求める場合は、次のような解き方になる。
一般項の求め方は(2)の解説を見てもらいたい。

$S_{n}=4^{n}-1$
なので、$n$に$2$を代入して
$S_{2}=4^{2}-1$
$S_{2}$$=15$
である。

解答ア:1, イ:5

$T_{n}=\displaystyle \frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}$
なので、$n$に$2$を代入して
$T_{2}=\displaystyle \frac{4^{2}}{3}-2-\frac{4}{3}$
途中式 $T_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{2}-2\cdot 3-4}{3}$
$T_{2}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{6}{3}$
$T_{2}$$=2$
である。

解答ウ:2

(2)

等比数列の和の公式から、
$S_{n}=\displaystyle \frac{3(1-4^{n})}{1-4}$
$S_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3(1-4^{n})}{-3}$
$S_{n}$$=-(1-4^{n})$
$S_{n}$$=4^{n}-1$
となる。

解答エ:4, オ:1, カ:1


また、数列$\{T_{n}\}$の階差数列が$\{S_{n}\}$なので、$2\leqq n$のとき、階差数列の公式より
$T_{n}=T_{1}+\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}S_{k}$
$T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-1+\sum_{k=1}^{n-1}(4^{k}-1)$
途中式 $T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-1+\sum_{k=1}^{n-1}4^{k}-\sum_{k=1}^{n-1}1$
$T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-1+\frac{4(1-4^{n-1})}{1-4}-(n-1)$
$T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-1+\frac{4-4^{n}}{-3}-n+1$
$T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}$式A
となる。

これは$n=1$のときも成り立つ。

解答キ:4, ク:1, ケ:3, コ:4, サ:3

(3) シ~タ

アドバイス

次は漸化式の問題だけど、文型の人はあんまり見たことがないタイプの問題だと思う。
でも、解き方を知らなくても、センター試験は問題が誘導してくれるから大丈夫。
驚かずに問題の流れに乗ろう。

$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}+2T_{n}}{n}$
なので、
$b_{1}=\displaystyle \frac{a_{1}+2T_{1}}{1}$
$b_{1}$$=a_{1}+2T_{1}$式B
とかける。
問題文より
$a_{1}=-3$ $T_{1}=-1$ なので、式Bは
$b_{1}=-3+2\cdot(-1)$
$b_{1}$$=-5$
となる。

解答シ:-, ス:5


次に、$\{T_{n}\}$の漸化式をつくる。
$T_{n}$の式は(2)で求めた一般項(式A)だけしかない。
これを使っての式を作るわけだ。

の式を見ると、$T_{n+1}$と$T_{n}$があるので、まずこれを作ろう。
式Aより、
$T_{n}=\displaystyle \frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}$
式Aの$n$に$n+1$を代入して、
$T_{n+1}=\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}-(n+1)-\frac{4}{3}$
$T_{n+1}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{n+1}}{3}-n-\frac{7}{3}$式C
とすると、$T_{n+1}$と$T_{n}$はできたけど、の式にはない$\displaystyle \frac{4^{n}}{3}$,$\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}$もできてしまった。
$\displaystyle \frac{4^{n}}{3}$を$\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}$にそろえて加減法で消そう。

式Aの両辺を$4$倍して、
$4T_{n}=4\displaystyle \cdot\frac{4^{n}}{3}-4n-4\cdot\frac{4}{3}$
$4T_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{4^{n+1}}{3}-4n-\frac{16}{3}$
これを式Cから辺々引いて、

$T_{n+1}$ $=$ $\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}$ $-n$ $-\displaystyle \frac{7}{3}$
$-)$ $4T_{n}$ $=$ $\displaystyle \frac{4^{n+1}}{3}$ $-4n$ $-\displaystyle \frac{16}{3}$
$T_{n+1}-4T_{n}$ $=$ $3n$ $+\displaystyle \frac{9}{3}$

より
$T_{n+1}-4T_{n}=3n+3$
$T_{n+1}=4T_{n}+3n+3$
という漸化式ができる。

解答セ:4, ソ:3, タ:3

(3) チツ

アドバイス

次は、$\{b_{n}\}$の漸化式だ。
ここまでの(3)のストーリーを振り返ると、
1. $\{a_{n}\}$の漸化式から一般項を求めたい
2. そのために$a_{n}$の式を$b_{n}$とおいた
3. $b_{n}$の式に含まれる$T_{n}$の漸化式を作った
という流れだった。
この流れから、
$\{a_{n}\}$の漸化式を$\{b_{n}\}$の漸化式に変える そのために、$b_{n}$の式と$\{T_{n}\}$の漸化式を使う と予想できる。
この方針で解こう。

$b_{n}$の式
$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}+2T_{n}}{n}$
を変形すると
$nb_{n}=a_{n}+2T_{n}$
$a_{n}=nb_{n}-2T_{n}$
となるから、
$\left\{\begin{array}{l}
a_{n}=nb_{n}-2T_{n}\\
a_{n+1}=(n+1)b_{n+1}-2T_{n+1}
\end{array}\right.$式D
である。

これを$\{a_{n}\}$の漸化式に代入する。
問題文中の
$na_{n+1}=4(n+1)a_{n}+8T_{n}$
に式Dを代入して、
$n\{(n+1)b_{n+1}-2T_{n+1}\}$
        $=4(n+1)(nb_{n}-2T_{n})+8T_{n}$
途中式 $n(n+1)b_{n+1}-2nT_{n+1}$
        $=4n(n+1)b_{n}-8nT_{n}-8T_{n}+8T_{n}$
$n(n+1)b_{n+1}$
        $=4n(n+1)b_{n}-8nT_{n}+2nT_{n+1}$式E

より
$T_{n+1}=4T_{n}+3n+3$
なので、これを式Eに代入して、
$n(n+1)b_{n+1}$
        $=4n(n+1)b_{n}-8nT_{n}+2n(4T_{n}+3n+3)$
途中式         $=4n(n+1)b_{n}-8nT_{n}+8nT_{n}+2n(3n+3)$
        $=4n(n+1)b_{n}+6n(n+1)$
$n\neq 0$,$n+1\neq 0$なので、両辺を$n(n+1)$で割って、
$b_{n+1}=4b_{n}+6$
となる。

解答チ:4, ツ:6

別解

アドバイス

理型の人は、$\{a_{n}\}$の漸化式
$na_{n+1}=4(n+1)a_{n}+8T_{n}$
を見ると、両辺を$n(n+1)$で割ろうとするかも。
この場合、上の解と計算の順番がちょっと変わる。
(長くなるので$n(n+1)$で割る理由は説明しない)

$\{a_{n}\}$の漸化式の両辺を$n(n+1)$で割って、
$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{n+1}=4\cdot\frac{a_{n}}{n}+\frac{8T_{n}}{n(n+1)}$式F

ここで、
$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}+2T_{n}}{n}$
なので
$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}}{n}+\frac{2T_{n}}{n}$
$\displaystyle \frac{a_{n}}{n}=b_{n}-\frac{2T_{n}}{n}$
より、
$\left\{\begin{array}{l}
\frac{a_{n}}{n}=b_{n}-\frac{2T_{n}}{n}\\
\frac{a_{n+1}}{n+1}=b_{n+1}-\frac{2T_{n+1}}{n+1}
\end{array}\right.$
とかける。

これを式Fに代入して、
$b_{n+1}-\displaystyle \frac{2T_{n+1}}{n+1}=4\left(b_{n}-\frac{2T_{n}}{n}\right)+\frac{8T_{n}}{n(n+1)}$
途中式 $b_{n+1}=4b_{n}-\displaystyle \frac{8T_{n}}{n}+\frac{8T_{n}}{n(n+1)}+\frac{2T_{n+1}}{n+1}$
$b_{n+1}$$\displaystyle =4b_{n}-\frac{8(n+1)T_{n}}{n(n+1)}+\frac{8T_{n}}{n(n+1)}+\frac{2nT_{n+1}}{n(n+1)}$
$b_{n+1}$$\displaystyle =4b_{n}+\frac{-8nT_{n}-8T_{n}+8T_{n}+2nT_{n+1}}{n(n+1)}$
$b_{n+1}\displaystyle =4b_{n}+\frac{-8nT_{n}+2nT_{n+1}}{n(n+1)}$式G

より
$T_{n+1}=4T_{n}+3n+3$
なので、これを式Gに代入して、
$b_{n+1}=4b_{n}+\displaystyle \frac{-8nT_{n}+2n(4T_{n}+3n+3)}{n(n+1)}$
途中式 $b_{n+1}$$=4b_{n}+\displaystyle \frac{-8nT_{n}+8nT_{n}+2n(3n+3)}{n(n+1)}$
$b_{n+1}$$=4b_{n}+\displaystyle \frac{6n(n+1)}{n(n+1)}$
$b_{n+1}$$=4b_{n}+6$
となる。

解答チ:4, ツ:6

(3) テ~ヒ

アドバイス

ここまでくると勝ったも同然。
$\{b_{n}\}$の漸化式
$b_{n+1}=4b_{n}+6$式H
から、$b_{n}$の一般項を求める。
よく見るタイプの問題なので、あまり解説せずに解いてゆく。
このタイプの漸化式について、詳しい説明はこのページを見てほしい。

式Hの小さな文字を消して
$b=4b+6$
これを解くと
$3b=-6$
$b=-2$
なので、式Hの両辺から$-2$を引いて、
$b_{n+1}+2=4b_{n}+6+2$
$b_{n+1}+2$$=4b_{n}+8$
$b_{n+1}+2$$=4(b_{n}+2)$式I

$b_{n}+2=Z_{n}$式J
とおくと、式Iは
$Z_{n+1}=4Z_{n}$
となるので、$\{Z_{n}\}$は公比が$4$の等比数列である。

また
$Z_{1}=b_{1}+2$
で、シスより
$b_{1}=-5$
だから
$Z_{1}=-5+2$
$Z_{1}$$=-3$
なので、
$Z_{n}=-3\cdot 4^{n-1}$
である。

これを式Jに代入して、
$b_{n}+2=-3\cdot 4^{n-1}$
$b_{n}=-3\cdot 4^{n-1}-2$
である。

解答テ:-, ト:3, ナ:0, ニ:2


この$\{b_{n}\}$の一般項
$b_{n}=-3\cdot 4^{n-1}-2$
と、で求めた$\{T_{n}\}$の一般項
$T_{n}=\displaystyle \frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}$
を、$b_{n}$の式
$b_{n}=\displaystyle \frac{a_{n}+2T_{n}}{n}$
に代入すれば$a_{n}$が求められる。

$b_{n}$の式に$b_{n}$,$T_{n}$を代入して、
$-3\displaystyle \cdot 4^{n-1}-2=\frac{a_{n}+2\left(\frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}\right)}{n}$
途中式 $n(-3\cdot 4^{n-1}-2)=a_{n}+2\left(\frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}\right)$
$a_{n}=n(-3\cdot 4^{n-1}-2)-2\left(\frac{4^{n}}{3}-n-\frac{4}{3}\right)$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-3n\cdot 4^{n-1}-2n-\frac{2\cdot 4^{n}}{3}+2n+\frac{8}{3}$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =-3n\cdot 4^{n-1}-\frac{2\cdot 4^{n}}{3}+\frac{8}{3}$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-9n\cdot 4^{n-1}-2\cdot 4^{n}+8}{3}$
$a_{n}\displaystyle $$\displaystyle =\frac{-9n\cdot 4^{n-1}-2\cdot 4\cdot 4^{n-1}+8}{3}$
$a_{n}=\displaystyle \frac{-(9n+8)4^{n-1}+8}{3}$
となる。

解答ヌ:-, ネ:9, ノ:8, ハ:8, ヒ:3