大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試 数学ⅠA 第5問 解説

ア~キ

まず、内接円の半径だ。
三角形の内接円の半径が含まれる公式は、

公式

三角形の面積を$S$,内接円の半径を$r$,三辺の長さを$a$,$b$,$c$とすると、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}r(a+b+c)$
である。

のひとつしかない。

△$\mathrm{ABC}$の面積を$S$,内接円の半径を$r$とすると、上の公式より
$S=\displaystyle \frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC})$式A
とかける。

また、面積$S$は、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin\angle \mathrm{BAC}$
なので、式Aは
$\displaystyle \frac{1}{2}\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}\sin\angle \mathrm{BAC} = \frac{1}{2}r(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}+\mathrm{AC})$
となる。
これにそれぞれの値を代入して計算して、
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot\frac{2\sqrt{6}}{5}=\frac{1}{2}r(4+7+5)$
$4\cdot 2\sqrt{6}=r(4+7+5)$
$4\cdot 2\sqrt{6}=16r$
$r=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}$
である。

解答ア:6, イ:2


次に、問題文より内接円と$\mathrm{AB}$,$\mathrm{AC}$との接点がそれぞれ$\mathrm{D}$,$\mathrm{E}$なんだけど、$\mathrm{BC}$との接点にも$\mathrm{T}$って名前をつけると、図Aができる。

図A
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠA第5問 解説図A

で、$\mathrm{AD}$を求める。
よく見るお約束の問題なので、お約束の解き方をしよう。
まず、三角形の内心の復習から。

復習

大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠA第5問 復習図

右の図において、
同じ色の線分の長さは等しい 同じ色・記号の角は等しい

等しい線分・角が 結構たくさんある。

図Aより、
$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{A}\mathrm{D}+\mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{A}\mathrm{B}\\\mathrm{A}\mathrm{E}+\mathrm{C}\mathrm{E}=\mathrm{A}\mathrm{C}\\\mathrm{B}\mathrm{T}+\mathrm{C}\mathrm{T}=\mathrm{B}\mathrm{C}\end{array}\right.$式B
また、復習より、
$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{A}\mathrm{D}=\mathrm{A}\mathrm{E}\\ \mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{B}\mathrm{T}\\ \mathrm{C}\mathrm{E}=\mathrm{C}\mathrm{T} \end{array}\right.$
で、三辺の長さも分かっているので、式Bは

$\mathrm{BD}=4-\mathrm{AD}$ 式B1
$\mathrm{CE}=5-\mathrm{AD}$ 式B2
$\mathrm{BD}+\mathrm{CE}=7$ 式B3

とかける。

式B1,式B2を式B3に代入して、
$4-\mathrm{AD}+5-\mathrm{AD}=7$
$2\mathrm{AD}=2$
$\mathrm{AD}=1$
である。

解答ウ:1

よって、
$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{A}\mathrm{D}=\mathrm{A}\mathrm{E}=1\\ \mathrm{B}\mathrm{D}=\mathrm{B}\mathrm{T}=3\\ \mathrm{C}\mathrm{E}=\mathrm{C}\mathrm{T}=4 \end{array}\right.$
である。


次は$\mathrm{DE}$だ。
$\mathrm{AD}=\mathrm{AE}=1$ $\displaystyle \cos\angle \mathrm{DAE}=-\frac{1}{5}$ が分かっているので、△$\mathrm{ADE}$に余弦定理を使おう。

余弦定理から、
$\mathrm{DE}^{2}=\mathrm{AD}^{2}+\mathrm{AE}^{2}-2\mathrm{AD}\cdot \mathrm{AE}\cos\angle \mathrm{DAE}$
より
$\displaystyle \mathrm{DE}^{2}=1^{2}+1^{2}-2\cdot 1\cdot 1\left(-\frac{1}{5}\right)$
$\displaystyle \mathrm{DE}^{2}$$\displaystyle =\frac{5}{5}+\frac{5}{5}+\frac{2}{5}$
$\displaystyle \mathrm{DE}^{2}$$\displaystyle =\frac{12}{5}$

$0 \lt \mathrm{DE}$なので、
$\mathrm{DE}=\sqrt{\frac{12}{5}}$
$\displaystyle \mathrm{DE}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{12\cdot 5}}{5}$
$\displaystyle \mathrm{DE}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{3\cdot 5}}{5}$
$\displaystyle \mathrm{DE}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{15}}{5}$
である。

解答エ:2, オ:1, カ:5, キ:5

ク~シ

図Aに、ここまでに分かったことと、点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を書き込むと、図Bができる。

図B
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠA第5問 解説図B

アドバイス

ここで、$\mathrm{BQ}=3$じゃないの?って思った人もいるかも。
でも、点$\mathrm{Q}$と図Aの点$\mathrm{T}$とは同じ点かどうか分からないので、$\mathrm{BQ}$が$3$かどうかは まだ分からない。

図Bの状態で$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{Q}}{\mathrm{C}\mathrm{Q}}$を問われているので、チェバの定理だ。
チェバの定理から、
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{D}}{\mathrm{A}\mathrm{D}}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{B}\mathrm{Q}}\cdot\frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{C}\mathrm{E}}=1$
なので、
$\displaystyle \frac{3}{1}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{B}\mathrm{Q}}\cdot\frac{1}{4}=1$
$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{B}\mathrm{Q}}=1$
両辺に$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{Q}}{\mathrm{C}\mathrm{Q}}$をかけて、
$\displaystyle \frac{3}{4}\cdot\frac{\mathrm{C}\mathrm{Q}}{\mathrm{B}\mathrm{Q}}\cdot\frac{\mathrm{B}\mathrm{Q}}{\mathrm{C}\mathrm{Q}}=\frac{\mathrm{B}\mathrm{Q}}{\mathrm{C}\mathrm{Q}}$
$\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{Q}}{\mathrm{C}\mathrm{Q}}=\frac{3}{4}$
である。

解答ク:3, ケ:4

なので、
$\displaystyle \mathrm{BQ}=\frac{3}{7}\mathrm{BC}$
$\mathrm{BQ}$$=3$
となる。

解答コ:3

ここで、$\mathrm{BQ}=3$であることが分かったので、点$\mathrm{Q}$と図Aの点$\mathrm{T}$は同じ点である。
なので、図Cのようになって、$\mathrm{IQ}$は内接円$\mathrm{I}$の半径となる。

図C
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠA第5問 解説図C

より、内接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}$なので、
$\displaystyle \mathrm{IQ}=\frac{\sqrt{6}}{2}$
である。

解答サ:6, シ:2

ス~ソ

最後は、$\cos\angle \mathrm{DFE}$だ。
解き方はいくつか考えられる。そのうちのいくつかを解説しておく。

解法1

この解き方は思いつきにくいかもしれないけれど、計算はとても楽だ。
こんなの絶対気がつかないって人は、解法2で解いてもらって問題ない。

図D
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠA第5問 解説図D

接弦定理より、図Dの赤い角とオレンジの角は等しい。
なので、$\angle \mathrm{DFE}$(赤い角)のかわりに$\angle \mathrm{AED}$(オレンジの角)の$\cos$を求める。
図が小さくて見にくいので、図Dの青い部分を拡大して図Eにした。

図E
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠA第5問 解説図E

これまでに、
$\mathrm{AD}=\mathrm{AE}=1$ $\displaystyle \mathrm{DE}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$ であることが分かっている。
△$\mathrm{ADE}$は二等辺三角形なので、頂点$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{DE}$に垂線をおろし、その足を$\mathrm{H}$とすると、
$\displaystyle \mathrm{EH}=\frac{1}{2}\times\frac{2\sqrt{15}}{5}$
$\displaystyle \mathrm{EH}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{15}}{5}$
である。

ここで、△$\mathrm{AEH}$(図Eの緑の三角形)を考えると、$\angle \mathrm{AHE}=90^{\circ}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AEH}=\frac{\mathrm{E}\mathrm{H}}{\mathrm{A}\mathrm{E}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AEH}$$\displaystyle =\frac{\frac{\sqrt{15}}{5}}{1}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AEH}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{15}}{5}$
である。
よって、$\cos\angle \mathrm{DFE}$も
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{DFE}=\frac{\sqrt{15}}{5}$
である。

解答ス:1, セ:5, ソ:5

解法2

ちょっと計算が面倒だけど、こっちの方が思いつきやすいかも。

図F
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠA第5問 解説図F

△$\mathrm{DEF}$から見ると、円$\mathrm{I}$は外接円である。
なので、円$\mathrm{I}$の半径を$R$とすると、正弦定理を使って
$\displaystyle \frac{\mathrm{D}\mathrm{E}}{\sin\angle \mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{E}}=2R$式C
とかける。

これまでに
$\displaystyle \mathrm{DE}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$ $R=\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{2}$ であることが分かっているので、式Cは
$\displaystyle \frac{\frac{2\sqrt{15}}{5}}{\sin\angle \mathrm{D}\mathrm{F}\mathrm{E}}=2\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}$式D
となる。
これを解く。

両辺に$\sin\angle \mathrm{DFE}$をかけて、
$\displaystyle \frac{2\sqrt{15}}{5}=2\cdot\frac{\sqrt{6}}{2}\sin\angle \mathrm{DFE}$
$\displaystyle \sqrt{6}\sin\angle \mathrm{DFE}=\frac{2\sqrt{15}}{5}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{DFE}=\frac{2\sqrt{15}}{5\sqrt{6}}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{DFE}$$\displaystyle =\frac{2\sqrt{5}}{5\sqrt{2}}$
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{DFE}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{10}}{5}$
となるけど、これは$\sin$だ。
$\cos$に変えないといけない。

アドバイス

センター試験本番で精神的にいっぱいいっぱいだったりすると、思わずこの$\displaystyle \sin\angle \mathrm{DFE}=\frac{\sqrt{10}}{5}$がスセの答えだと勘違いしがちだ。問題文のマスにもちょうど入ってしまうし。
こういうミスを防ぐために、式Dの計算をはじめる前に計算用紙に「$\cos$にかえる」とかメモしておくなど、自分に合った勘違いを防ぐ方法を見つけておこう。

$\sin^{2}\angle \mathrm{DFE}+\cos^{2}\angle \mathrm{DFE}=1$
より、
$\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^{2}+\cos^{2}\angle \mathrm{DFE}=1$
$\cos^{2}\angle \mathrm{DFE}=1-\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)^{2}$
$\displaystyle \cos^{2}\angle \mathrm{DFE}$$\displaystyle =\frac{5^{2}}{5^{2}}-\frac{10}{5^{2}}$
$\displaystyle \cos^{2}\angle \mathrm{DFE}$$\displaystyle =\frac{15}{5^{2}}$
ここで、$\angle \mathrm{DFE}$は鋭角なので、
     $0 \lt \cos\angle \mathrm{DFE}$より、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{DFE}=\frac{\sqrt{15}}{5}$
である。

解答ス:1, セ:5, ソ:5

別解

解法3

考え方もシンプルじゃないし計算も面倒なので、ゼンゼンおすすめじゃないけれど、こういう解き方もできる。

図G
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅠA第5問 解説図G

上の内心の復習から、図Gの2つのオレンジの角は等しい。 赤い角は赤い弧に対する円周角、オレンジ2つは赤い弧に対する中心角なので、オレンジ2つは赤い角の2倍である。 よって、オレンジの角と赤い角は等しい。
ということで、赤い角のかわりにオレンジの角の$\cos$を求める。

これまでに、
$\mathrm{AE}=1$ $\mathrm{IE}=$円$\mathrm{I}$の半径
$\displaystyle \mathrm{EI}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{2}$
であることが分かっている。

ここで、△$\mathrm{AIE}$(図Gの緑の三角形)を考えると、$\angle \mathrm{AEI}=90^{\circ}$の直角三角形なので、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AIE}=\frac{\mathrm{I}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{I}}$式E
だけど、$\mathrm{AI}$は分からないので、三平方の定理で求める。

アドバイス

$\displaystyle \tan\angle \mathrm{AIE}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{I}\mathrm{E}}$ なので、$\tan\angle \mathrm{AIE}$はすぐ分かる。
その後、

公式

$1+\displaystyle \tan^{2}\theta=\frac{1}{\cos^{2}\theta}$

を使って$\cos\angle \mathrm{AIE}$を求めることもできる。

三平方の定理より、
$\mathrm{AI}^{2}=\mathrm{AE}^{2}+\mathrm{IE}^{2}$
なので
$\mathrm{AI}^{2}=1^{2}+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$
$\displaystyle \mathrm{AI}^{2}$$\displaystyle =\frac{2^{2}}{2^{2}}+\frac{6}{2^{2}}$
$\displaystyle \mathrm{AI}^{2}$$\displaystyle =\frac{10}{2^{2}}$
$0 \lt \mathrm{AI}$なので、
$\displaystyle \mathrm{AI}=\frac{\sqrt{10}}{2}$
となる。

よって、式Eは、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AIE}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$
とかける。
これを計算して、
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AIE}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AIE}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{AIE}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{15}}{5}$
である。
よって、$\cos\angle \mathrm{DFE}$も
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{DFE}=\frac{\sqrt{15}}{5}$
である。

解答ス:1, セ:5, ソ:5