大学入試センター試験 2019年(平成31年) 本試 数学ⅡB 第4問 解説

(1)

$\vec{a}\cdot\vec{c}=0$なので、
$\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}$
である。

解答ア:9, イ:0

図A
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第4問 解説図A

よって、△$\mathrm{OAC}$(図Aの緑の三角形)は直角三角形だから、面積を$S$とすると、
$ S=\displaystyle \frac{1}{2}\times$底辺$\times$高さ
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\times \mathrm{OA}\times \mathrm{OC}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\times\left|\vec{a}\right|\times\left|\vec{c}\right|$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\times 1\times\sqrt{5}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\sqrt{5}}{2}$
である。

解答ウ;5, エ:2

(2)

この問題では基準になるベクトルが$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$なので、$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}$と$\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$を$\vec{a}$,$\vec{b}$,$\vec{c}$で表そう。
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}$$=\vec{a}-\vec{b}$
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{C}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$$=\vec{c}-\vec{b}$
なので、
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}-\vec{b}\right)$
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$$=\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{b}$
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$$=\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{a}\cdot\vec{b}-\vec{b}\cdot\vec{c}+\left|\vec{b}\right|^{2}$式A
となる。
これにそれぞれの値を代入すると、式Aは
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}=0-1-3+\sqrt{3}^{2}$
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$$=-1$
となる。

解答オ:-, カ:1


また、
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|^{2}=\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}$
        $=\left(\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{a}-\vec{b}\right)$
        $=\vec{a}\cdot\vec{a}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}$
        $=\left|\vec{a}\right|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\left|\vec{b}\right|^{2}$
だけど、これにそれぞれの値を代入すると
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|^{2}=1^{2}-2\cdot 1+\sqrt{3}^{2}$
        $=2$
より
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|=\sqrt{2}$
である。

解答キ:2


さらに、
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}\right|^{2}=\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$
        $=\left(\vec{c}-\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{c}-\vec{b}\right)$
        $=\vec{c}\cdot\vec{c}-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{b}$
        $=\left|\vec{c}\right|^{2}-2\vec{b}\cdot\vec{c}+\left|\vec{b}\right|^{2}$
だけど、これにそれぞれの値を代入すると
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}\right|^{2}=\sqrt{5}^{2}-2\cdot 3+\sqrt{3}^{2}$
        $=2$
より
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}\right|=\sqrt{2}$
である。

解答ク:2


次は、内積からベクトルのなす角を求める問題。
見慣れた問題なので、どんどん解いてゆく。

$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|\cdot\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}\right|\cos\angle \mathrm{ABC}=\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$
とかける。

これに、上で求めた$\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$,$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{A}}\right|$,$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}\right|$を代入して、
$\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cos\angle \mathrm{ABC}=-1$
$\displaystyle \cos\angle \mathrm{ABC}=-\frac{1}{2}$
なので
$\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}$
である。

解答ケ:1, コ:2, サ:0


次は、底面の四角形$\mathrm{ABCD}$だ。

図B
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第4問 解説図B

問題文より、
$\angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}$ ケコサより、 $\angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}$ である。
また
$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$ で、平行線における同位角は等しい。
よって、図B中の赤い角はすべて等しい。
以上より、
$\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{ADC}=60^{\circ}$
である。

解答シ:6, ス:0


アドバイス

次は$\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}=$$\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$だ。
解法はたくさんあるけど、メインのストーリーにはあまり関係がないので1種類だけ紹介する。
この解説にこだわらず、自分に合った方法で解いて欲しい。

図Cのように、$\mathrm{AB}$の延長と$\mathrm{CD}$の延長との交点を$\mathrm{E}$とする。

図C
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第4問 解説図C

図Cの緑の角度はすべて$60^{\circ}$なので、
△$\mathrm{BEC}$は正三角形 △$\mathrm{AED}$は正三角形 だから、
$\mathrm{BE}=\mathrm{BC}=\sqrt{2}$
より
$\mathrm{AD}=\mathrm{AE}=2\sqrt{2}$
である。

また
$\mathrm{AD}\parallel \mathrm{BC}$
なので、
$\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}=2\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$
である。

解答セ:2

よって
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+\vec{\mathrm{A}\mathrm{D}}$
だけど、これは
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}+2\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}$式B
とかける。

$\vec{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\vec{a}$ $\vec{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\vec{c}-\vec{b}$ なので、式Bは、
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}=\vec{a}+2\left(\vec{c}-\vec{b}\right)$
$\vec{\mathrm{O}\mathrm{D}}$$=\vec{a}-2\vec{b}+2\vec{c}$
となる。

解答ソ:2, タ:2


アドバイス

次の四角形$\mathrm{ABCD}$の面積も解法がたくさんあるけど、1種類だけ紹介する。

図D
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第4問 解説図D

四角形$\mathrm{ABCD}$の面積を、△$\mathrm{ABC}$と△$\mathrm{ADC}$の2つに分けて求めよう。

△$\displaystyle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{BC}\cdot\sin\angle \mathrm{ABC}$
△$\displaystyle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$
△$\displaystyle \mathrm{ABC}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{2}$式C
△$\displaystyle \mathrm{ADC}=\frac{1}{2}\cdot \mathrm{AD}\cdot \mathrm{DC}\cdot\sin\angle \mathrm{ADC}$
△$\displaystyle \mathrm{ADC}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$
△$\mathrm{ADC}$$=\sqrt{3}$式D
なので、式Cと式Dをたして
四角形$\displaystyle \mathrm{ABCD}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\sqrt{3}$
四角形$\displaystyle \mathrm{ABCD}$$\displaystyle =\frac{3\sqrt{3}}{2}$
である。

解答チ:3, ツ:3, テ:2

(3)

前フリも終わって、ここからがこの問題のメインだ。
三角錐$\mathrm{B}-\mathrm{OAC}$の体積を求める。

底面の△$\mathrm{OAC}$の面積$S$はで求めた
$S=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}$
だから、あとは高さが分かれば体積も分かる。
この高さを求める。

図E
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第4問 解説図E

まず、平面に垂直なベクトルの復習から。

復習

$\vec{q}$,$\vec{r}$が平面$\alpha$上にある平行でないベクトルとして、
平面$\alpha$とベクトル$\vec{p}$が垂直
$\Updownarrow$
$\vec{p}$⊥$\vec{q}$ かつ $\vec{p}$⊥$\vec{r}$
である。

点$\mathrm{B}$から平面$\alpha$(図Eの青い平面)に垂線を下ろし、その足を$\mathrm{H}$とすると、
平面$\alpha$と$\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}$は垂直なので、復習から、
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}$⊥$\vec{a}$
より
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\cdot\vec{a}=0$式E
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}$⊥$\vec{c}$
より
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\cdot\vec{c}=0$式F
である。

解答ト:0


$\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}=s\vec{a}+t\vec{c}$
とおくので、
$\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}=\vec{\mathrm{O}\mathrm{H}}-\vec{\mathrm{O}\mathrm{B}}$
      $=s\vec{a}+t\vec{c}-\vec{b}$式G
とかける。
よって、式E,式Fは
$\left(s\vec{a}+t\vec{c}-\vec{b}\right)\cdot\vec{a}=0$式E'
$\left(s\vec{a}+t\vec{c}-\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=0$式F'
となる。
この連立方程式を解く。

式E'の
$\left(s\vec{a}+t\vec{c}-\vec{b}\right)\cdot\vec{a}=0$
より
$s\left|\vec{a}\right|^{2}+t\vec{a}\cdot\vec{c}-\vec{a}\cdot\vec{b}=0$式E''

式F'の
$\left(s\vec{a}+t\vec{c}-\vec{b}\right)\cdot\vec{c}=0$
より
$s\vec{a}\cdot\vec{c}+t\left|\vec{c}\right|^{2}-\vec{b}\cdot\vec{c}=0$式F''

これにそれぞれの値を代入すると、式E'',式F''は
$\left\{\begin{array}{l}s-1=0\\5t-3=0\end{array}\right.$
となるから、
$\left\{\begin{array}{l}s=1\\t=\frac{3}{5}\end{array}\right.$
である。

解答ナ:1, ニ:3, ヌ:5


これを式Gに代入すると、
$\displaystyle \vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}=\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{c}-\vec{b}$
とかける。
よって、
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}=\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\cdot\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}$
$\left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}$$=\left(\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{c}-\vec{b}\right)\cdot\left(\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{c}-\vec{b}\right)$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}$$\displaystyle =\left|\vec{a}\right|^{2}+\frac{3^{2}}{5^{2}}\left|\vec{c}\right|^{2}+\left|\vec{b}\right|^{2}+\frac{6}{5}\vec{a}\cdot\vec{c}-2\vec{a}\cdot\vec{b}-\frac{6}{5}\vec{b}\cdot\vec{c}$
である。

これにそれぞれの値を代入して、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}=1^{2}+\frac{3^{2}}{5^{2}}\cdot\sqrt{5}^{2}+\sqrt{3}^{2}+\frac{6}{5}\cdot 0-2\cdot 1-\frac{6}{5}\cdot 3$
途中式 $\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}$$\displaystyle =1+\frac{3^{2}\cdot 5}{5^{2}}+3-2-\frac{3^{2}\cdot 2}{5}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{5^{2}+3^{2}\cdot 5+5^{2}\cdot 3-5^{2}\cdot 2-5\cdot 3^{2}\cdot 2}{5^{2}}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{5^{2}(1+3-2)+3^{2}(5-5\cdot 2)}{5^{2}}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{5^{2}\cdot 2-3^{2}\cdot 5}{5^{2}}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{5(5\cdot 2-3^{2})}{5^{2}}$
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right|^{2}$$\displaystyle =\frac{5}{5^{2}}$
となるから、
$\displaystyle \left|\vec{\mathrm{B}\mathrm{H}}\right| =\frac{\sqrt{5}}{5}$
である。

解答ネ:5, ノ:5

これが三角錐$\mathrm{B}-\mathrm{OAC}$の高さだ。


以上より、三角錐$\mathrm{B}-\mathrm{OAC}$の体積$V$は、
$ V=\displaystyle \frac{1}{3}\times$底面積$\times$高さ
$V\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{5}}{2}\times\frac{\sqrt{5}}{5}$
$V\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{6}$
となる。

解答ハ:1, ヒ:6

(4)

(4)は、ベクトルの問題ではなくて図形の問題だ。
ここから先は、四角錐や三角錐の底面を、図Fの緑の面(点A,点B,点C,点Dを通る面)にして考える。

図F
大学入試センター試験2019年本試 数学ⅡB第4問 解説図F

三角錐$\mathrm{O}-\mathrm{ABC}$の体積と、四角錐$\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$の体積の関係を考える。
2つの錐の高さは同じなので、
体積比$=$底面積比
である。

三角錐$\mathrm{O}-\mathrm{ABC}$の底面は△$\mathrm{ABC}$で、図Fの斜線の部分。
この面積は(2)の式Cで求めたように
△$\displaystyle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
だった。
四角錐$\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$の底面は台形$\mathrm{ABCD}$で、図Fの赤い台形。
この面積は(2)ので求めたように
四角形$\displaystyle \mathrm{ABCD}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
だった。

以上より、$\mathrm{O}-\mathrm{ABC}$と$\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}$の体積比は、
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{3\sqrt{3}}{2}=1:3$
だから、
$\mathrm{O}-\mathrm{ABC}=V$
とすると、
$\mathrm{O}-\mathrm{ABCD}=3V$
となる。

解答フ:3


より、三角錐$\mathrm{O}-\mathrm{ABC}$の体積$V$は
$V=\displaystyle \frac{1}{6}$
(2)の式Cより、底面積は
△$\displaystyle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
だった。
体積$=\displaystyle \frac{1}{3}\times$底面積$\times$高さ
なので、三角錐の高さを$h$とすると、
$\displaystyle \frac{1}{6}=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\times h$
$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}h=\frac{1}{6}$
$\sqrt{3}h=1$
$h=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$
$h\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{3}$
である。

解答ヘ:3, ホ:3