$\sqrt{16} \lt \sqrt{21} \lt \sqrt{25}$
なので、
$4 \lt \sqrt{21} \lt 5$
だから、$\sqrt{21}$の
整数部分は$4$
小数部分は$\sqrt{21}-4$

解答キ：４

$\sqrt{23}$と$\sqrt{31}$でも同じように考えて、
$\sqrt{23}$の小数部分は$\sqrt{23}-4$
$\sqrt{31}$の小数部分は$\sqrt{31}-5$

いったんまとめよう。
$a=\sqrt{21}-4$
$b=\sqrt{23}-4$
$c=\sqrt{31}-5$

なので、
$a-c=\sqrt{21}-4-\left(\sqrt{31}-5\right)$
$a-c$$=1+\sqrt{21}-\sqrt{31}$

解答ク：１

$\left(1+\sqrt{21}-\sqrt{31}\right)\left(1+\sqrt{21}+\sqrt{31}\right)\left(9+2\sqrt{21}\right)$
については、普通に展開するほかない。
$=\left\{\left(1+\sqrt{21}\right)^{2}-\sqrt{31}^{2}\right\}\left(9+2\sqrt{21}\right)$
$=\left\{\left(1+2\sqrt{21}+21\right)-31\right\}(9+2\sqrt{21})$
$=\left(2\sqrt{21}-9\right)\left(2\sqrt{21}+9\right)$
$=4\cdot 21-81$
$=3$

解答ケ：３

このことから、
$\left(1+\sqrt{21}-\sqrt{31}\right)\left(1+\sqrt{21}+\sqrt{31}\right)\left(9+2\sqrt{21}\right) \gt 0$
                 式Ａ
であることが分かった。

$1+\sqrt{21}+\sqrt{31} \gt 0$
$9+2\sqrt{21} \gt 0$
だから、
$1+\sqrt{21}-\sqrt{31} \gt 0$式Ｂ
でないと、かけて式Ａのように正にならない。

式Ｂの左辺は$a-c$なので、
$a-c \gt 0$
$a \gt c$式Ｃ

また、$\sqrt{21} \lt \sqrt{23}$なので、
$\sqrt{21}-4 \lt \sqrt{23}-4$
$a \lt b$式Ｄ

式Ｃ・式Ｄより、
$c \lt a \lt b$
である。

解答コ：２