$x \gt 1$
の両辺の底$2$の対数をとる。
底が$1$より大きいので、
$\log_{2}x \gt \log_{2}1$
$\log_{2}x \gt 0$
となる。
$\log_{2}x=s$なので、
$s \gt 0$
である。

解答ア：０

$A=x\sqrt{y}$より、
$\log_{2}A=\log_{2}x\sqrt{y}$
$\log_{2}A$$=\log_{2}x+\log_{2}\sqrt{y}$
$\log_{2}A$$=\log_{2}x+\log_{2}y^{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle \log_{2}A$$\displaystyle =\log_{2}x+\frac{1}{2}\log_{2}y$

$\log_{2}x=s$，$\log_{2}y=t$ なので、
$\displaystyle \log_{2}A=s+\frac{t}{2}$②
となる。

解答イ：２

また、変換公式を使って
$\log_{2}x=s$
の底を$4$に変えると、
$\displaystyle \frac{\log_{4}x}{\log_{4}2}=s$
$\displaystyle \frac{\log_{4}x}{\frac{1}{2}}=s$
$\displaystyle \log_{4}x=\frac{1}{2}s$③
となる。

解答ウ：５

①式 $(2y)^{\log_{4}x}=16$ の両辺の底$2$の対数をとると、
$\log_{2}(2y)^{\log_{4}x}=\log_{2}16$
$\log_{4}x\cdot\log_{2}2y=\log_{2}16$
$\log_{4}x\cdot\left(\log_{2}2+\log_{2}y\right)=\log_{2}16$
$\log_{4}x\cdot\left(1+\log_{2}y\right)=4$

$\displaystyle \log_{4}x=\frac{1}{2}s$，$\log_{2}y=t$ なので、
$\displaystyle \frac{1}{2}s(t+1)=4$
$s(t+1)=8$④
である。

解答エ：１, オ：８

$s\neq 0$なので、④式はさらに
$t+1=\displaystyle \frac{8}{s}$
$t=\displaystyle \frac{8}{s}-1$④'
とかける。

これを②式に代入して、
$\displaystyle \log_{2}A=s+\frac{\frac{8}{s}-1}{2}$
$\displaystyle \log_{2}A$$\displaystyle =s+\frac{4}{s}-\frac{1}{2}$②'
となる。

解答カ：４, キ：１, ク：２

ここで$0 \lt s$における②'の最小値を求めるのだけれど、分母に$s$があるので、数Ⅱの範囲では微分はできない。
微分以外で関数の最小を求める方法を考えると、相加平均と相乗平均の関係ではないかと気づく。
ついでに相加平均と相乗平均の関係の復習をしよう。

復習

$0 \lt \mathrm{A}$，$0 \lt \mathrm{B}$のとき、
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}+\mathrm{B}}{2}\geqq\sqrt{\mathrm{A}\mathrm{B}}$ （等号成立は$\mathrm{A}=\mathrm{B}$のとき）
だった。この式の分母を払った
$\mathrm{A}+\mathrm{B}\geqq 2\sqrt{\mathrm{A}\mathrm{B}}$
を使うことが多い。

$0 \lt s$なので、相加平均と相乗平均の関係より、
$s+\displaystyle \frac{4}{s}\geqq 2\sqrt{s\cdot\frac{4}{s}}$
$s+\displaystyle \frac{4}{s}$$\displaystyle \geqq 2\sqrt{4}$
$s+\displaystyle \frac{4}{s}$$\displaystyle \geqq 4$
これをもとに、②'式をつくる。

両辺から$\displaystyle \frac{1}{2}$を引いて、
$s+\displaystyle \frac{4}{s}-\frac{1}{2}\geqq\frac{7}{2}$
この左辺は$\log_{2}A$なので、
$\displaystyle \log_{2}A\geqq\frac{7}{2}$
であることが分かる。
なので、$s=\displaystyle \frac{4}{s}$のとき、$\log_{2}A$の最小値$\displaystyle \frac{7}{2}$だ。
これを、$x$，$y$と$A$で表せば答だ。

まず、$s=\displaystyle \frac{4}{s}$から片付けよう。
両辺を$s$倍して、
$s^{2}=4$
$0 \lt s$なので、
$s=2$
より、$\log_{2}A$が最小となるのは$s=2$のとき。

解答ケ：２

このとき、
$s=\log_{2}x$なので、
$\log_{2}x=2$
$x=4$

また、$s=2$を④'式に代入して、
$t=\displaystyle \frac{8}{2}-1=3$
$t=\log_{2}y$なので、
$\log_{2}y=3$
$y=8$
である。

解答コ：４, サ：８

最後は、$\log_{2}A$の最小値$\displaystyle \frac{7}{2}$だ。
$\displaystyle \log_{2}A=\frac{7}{2}$
$A=2^{\frac{7}{2}}$
$A$$=\sqrt{2}^{7}$
$A$$=8\sqrt{2}$
となる。

解答シ：８, ス：２