$\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{A}\mathrm{B}+\mathrm{A}\mathrm{C}+\mathrm{B}\mathrm{C}=4\\
\mathrm{B}\mathrm{C}=2a\\
\mathrm{A}\mathrm{B}=\mathrm{A}\mathrm{C}
\end{array}\right.$
より、
$2\mathrm{AB}=4-2a$
$\mathrm{AB}=2-a$
である。

解答ア：２, イ：ａ

点AからBCに下ろした垂線の足をHとする。
△ABHは直角三角形なので、三平方の定理より、

$\mathrm{AH}^{2}=\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BH}^{2}$
$\mathrm{AH}^{2}$$=(2-a)^{2}-a^{2}$
$\mathrm{AH}^{2}$$=(2-a+a)(2-a-a)$
$\mathrm{AH}^{2}$$=2(2-2a)$
$\mathrm{AH}^{2}$$=2^{2}(1-a)$
$0 \lt \mathrm{AH}$なので、
$\mathrm{AH}=2\sqrt{1-\mathrm{a}}$

よって、△ABCの面積を$S$とすると、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\times \mathrm{BC}\times \mathrm{AH}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2\sqrt{1-a}$
$S$$=2a\sqrt{1-a}$
となる。

解答ウ：２, エ：ａ, オ：１

図Ｂで、△ABCと△RPQは相似であり、相似比は$1:x$である。

ここで、念のために相似な図形の面積比，体積比の復習をしておこう。

復習

相似な図形$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり、それぞれの面積を$S_{\mathrm{A}}$，$S_{\mathrm{B}}$，体積を$V_{\mathrm{A}}$，$V_{\mathrm{B}}$とする。
相似比が$a:b$のとき、
$S_{\mathrm{A}}:S_{\mathrm{B}}=a^{2}:b^{2}$
$V_{\mathrm{A}}:V_{\mathrm{B}}=a^{3}:b^{3}$
である。

なので、
$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{RPQ}=1^{2}:x^{2}$
$\triangle \mathrm{RPQ}=\triangle \mathrm{ABC}\times x^{2}$
これに△ABCの面積を代入して、
$\triangle \mathrm{RPQ}=\left(2a\sqrt{1-a}\right)x^{2}$①
である。

解答カ：２

パターン１・２のときには、$f(x)=\triangle \mathrm{RPQ}$なので、話は簡単。
面倒なのは、パターン３だ。$f(x)$は台形の面積になるけど、これを直接求めるのは大変なので、
$f(x)=\triangle \mathrm{RPQ}-\triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}'$式Ａ
としよう。
△RP'Q'と△ABCは相似。
相似比は、$\mathrm{RP}':\mathrm{AB}$。
なので、RP'の長さを求める。

△APQと△RPQは合同なので、$\mathrm{AP}=\mathrm{RP}$。
よって、$\mathrm{RP}=x(2-a)$
△PBP'は二等辺三角形なので、$\mathrm{PB}=\mathrm{PP}'$。
よって、$\mathrm{PP}'=(1-x)(2-a)$
以上より、
$\mathrm{RP}'=\mathrm{RP}-\mathrm{PP}'$
$\mathrm{RP}'$$=x(2-a)-(1-x)(2-a)$
$\mathrm{RP}'$$=\{x-(1-x)\}(2-a)$
$\mathrm{RP}'$$=(2x-1)(2-a)$

△RP'Q'と△ABCの相似比は$\mathrm{RP}':\mathrm{AB}$なので、
$\mathrm{RP}':\mathrm{AB}=(2x-1)(2-a):2-a$
$\mathrm{RP}':\mathrm{AB}$$=2x-1:1$
である。

解答キ：２, ク：１

相似比が分かれば勝ったも同然。
さっき復習したように、面積比は相似比の２乗なので、
$\triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}':\triangle \mathrm{ABC}=(2x-1)^{2}:1^{2}$
より、
$\triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}'=\triangle \mathrm{ABC}\times(2x-1)^{2}$
$\triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}'$$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)(2x-1)^{2}$
であることが分かる。

これと①式を式Ａに代入して、
$f(x)=\triangle \mathrm{RPQ}-\triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}'$
$f(x)$$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)x^{2}-\left(2a\sqrt{1-a}\right)(2x-1)^{2}$
$f(x)$$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\{x^{2}-(2x-1)^{2}\}$
$f(x)$$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)(-3x^{2}+4x-1)$
となる。

解答ケ：－, コ：３, サ：２, シ：４

次は$y=f(x)$の最大値だ。
$0 \lt x\displaystyle \leqq\frac{1}{2}$の範囲では単調に増加するのは明らかなので、最大値は$\displaystyle \frac{1}{2} \lt x \lt 1$の範囲にあると予想できる。
なので、$\displaystyle \frac{1}{2} \lt x \lt 1$における$f(x)=\left(2a\sqrt{1-a}\right)(-3x^{2}+4x-1)$の最大値を求めよう。
グラフは上に凸の放物線で、軸は
$x=\displaystyle \frac{-4}{2\cdot(-3)}=\frac{2}{3}$
である。$x=\displaystyle \frac{2}{3}$は$\displaystyle \frac{1}{2} \lt x \lt 1$の範囲に含まれるので、ここが最大だ。

なお、軸を求めるのには、

復習

$y=ax^{2}+bx+c$の頂点の$x$座標は
$\displaystyle \frac{-b}{2a}$

を使った。

解答ス：２, セ：３

最大値は、$f(x)=\left(2a\sqrt{1-a}\right)(-3x^{2}+4x-1)$に$x=\displaystyle \frac{2}{3}$を代入して、
$\left(2a\sqrt{1-a}\right)\left\{-3\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+4\cdot\frac{2}{3}-1\right\}$
$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\left(-\frac{4}{3}+\frac{8}{3}-\frac{3}{3}\right)$
$=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot 2a\sqrt{1-a}$
$=\displaystyle \frac{2a}{3}\sqrt{1-a}$
である。

解答ソ：２, タ：ａ, チ：３

図Ｃの赤い部分の面積$S$を求める。
$x=\displaystyle \frac{1}{2}$を境にグラフが変わっているので、分けて積分して足そう。

式Ｂより、
$S=\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(2a\sqrt{1-a}\right)x^{2}dx }$
       $+\displaystyle{ \int_{\frac{1}{2}}^{1}\left(2a\sqrt{1-a}\right)(-3x^{2}+4x-1)dx }$

途中式

$S$$=\displaystyle{ \left(2a\sqrt{1-a}\right)\left\{\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^{2}dx\right. }$
                      $\displaystyle{ \left.+\int_{\frac{1}{2}}^{1}(-3x^{2}+4x-1)dx\right\} }$
$S$$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\left\{\Bigl[\frac{1}{3}x^{3}\Bigr]_{0}^{\frac{1}{2}}+\Bigl[-x^{3}+2x^{2}-x\Bigr]_{\frac{1}{2}}^{1}\right\}$
$S$$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\left[\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(-1^{3}+2\cdot 1^{2}-1\right)\right.$
                      $\left.-\left\{-\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}\right\}\right]$
$S$$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\{1-3(-1+2\cdot2-4)\}$
$S$$=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3} 4$
$S$$\displaystyle =\frac{4\cdot 2a}{3\cdot 2^{3}}\sqrt{1-a}$

$S$$\displaystyle =\frac{a}{3}\sqrt{1-a}$式Ｃ
である。

解答ツ：ａ, テ：３

最後に、$a$を変数として、$0 \lt a \lt 1$における$S$の最大値を求める。
式Ｃを微分してと言いたいところだけれど、式Ｃの微分は数Ⅲの範囲になってしまう。
なので、$0 \lt S$だから、$S^{2}$が最大になるとき$S$も最大になることを利用する。

式Ｃの両辺を２乗して、
$S^{2}=\displaystyle \frac{a^{2}}{9}(1-a)$
$S^{2}\displaystyle $$\displaystyle =-\frac{1}{9}a^{3}+\frac{1}{9}a^{2}$
となる。

解答ト：－, ナ：１, ニ：９, ヌ：１

これを微分して増減表をかく。
$\displaystyle \left(S^{2}\right)'=-\frac{3}{9}a^{2}+\frac{2}{9}a$
$\displaystyle \left(S^{2}\right)'$$\displaystyle =\frac{1}{9}a(-3a+2)$
より、$a=0,\displaystyle \frac{2}{3}$のとき$(S^{2})'=0$。
なので、増減表は、

$a$	$0$	$\cdots$	$\displaystyle \frac{2}{3}$	$\cdots$	$1$
$(S^{2})'$		$+$	$0$	-
$S$		$\nearrow$	最大値	$\searrow$

となる。

解答ネ：２, ノ：３

最大値は、式Ｃに$a=\displaystyle \frac{2}{3}$を代入して、
$\displaystyle \frac{\frac{2}{3}}{3}\sqrt{1-\frac{2}{3}}$
$=\displaystyle \frac{2}{3^{2}}\sqrt{\frac{1}{3}}$
$=\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{27}$
である。

解答ハ：２, ヒ：３, フ：２, ヘ：７