$\left\{\begin{array}{l} \mathrm{AB}+\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=4\\ \mathrm{BC}=2a\\ \mathrm{AB}=\mathrm{AC} \end{array}\right.$
より、
$2\mathrm{AB}=4-2a$
$\mathrm{AB}=2-a$
である。

解答ア：２, イ：ａ

点AからBCに下ろした垂線の足をHとする。
△ABHは直角三角形なので、三平方の定理より、

$$ \begin{align} \mathrm{AH}^{2}&=\mathrm{AB}^{2}-\mathrm{BH}^{2}\\ &=(2-a)^{2}-a^{2}\\ &=(2-a+a)(2-a-a)\\ &=2(2-2a)\\ &=2^{2}(1-a) \end{align} $$ $0 \lt \mathrm{AH}$なので、
$\mathrm{AH}=2\sqrt{1-\mathrm{a}}$

よって、$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$S$とすると、
$$ \begin{align} S&=\dfrac{1}{2}\times \mathrm{BC}\times \mathrm{AH}\\ &=\dfrac{1}{2}\cdot 2a\cdot 2\sqrt{1-a}\\ &=2a\sqrt{1-a} \end{align} $$ となる。

解答ウ：２, エ：ａ, オ：１

図の固定

図Ｂで、△ABCと△RPQは相似であり、相似比は$1:x$である。

ここで、念のために相似な図形の面積比，体積比の復習をしておこう。

なので、
$\triangle \mathrm{ABC}:\triangle \mathrm{RPQ}=1^{2}:x^{2}$
$\triangle \mathrm{RPQ}=\triangle \mathrm{ABC}\times x^{2}$
これに△ABCの面積を代入して、
$\triangle \mathrm{RPQ}=\left(2a\sqrt{1-a}\right)x^{2}$①
である。

解答カ：２

パターン１・２のときには、$f(x)=\triangle \mathrm{RPQ}$なので、話は簡単。
面倒なのは、パターン３だ。$f(x)$は台形の面積になるけど、これを直接求めるのは大変なので、
$f(x)=\triangle \mathrm{RPQ}-\triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}'$式Ａ
としよう。
△RP'Q'と△ABCは相似。
相似比は、$\mathrm{RP}':\mathrm{AB}$。
なので、RP'の長さを求める。

$\triangle \mathrm{APQ}$と$\triangle \mathrm{RPQ}$は合同なので、$\mathrm{AP}=\mathrm{RP}$。
よって、$\mathrm{RP}=x(2-a)$
$\triangle \mathrm{PBP'}$は二等辺三角形なので、$\mathrm{PB}=\mathrm{PP}'$。
よって、$\mathrm{PP}'=(1-x)(2-a)$
以上より、
$$ \begin{align} \mathrm{RP}'&=\mathrm{RP}-\mathrm{PP}'\\ &=x(2-a)-(1-x)(2-a)\\ &=\{x-(1-x)\}(2-a)\\ &=(2x-1)(2-a) \end{align} $$

△RP'Q'と△ABCの相似比は$\mathrm{RP}':\mathrm{AB}$なので、
$$ \begin{align} \mathrm{RP}':\mathrm{AB}&=(2x-1)(2-a):2-a\\ &=2x-1:1 \end{align} $$ である。

解答キ：２, ク：１

相似比が分かれば勝ったも同然。
さっき復習したように、面積比は相似比の２乗なので、
$\triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}':\triangle \mathrm{ABC}=(2x-1)^{2}:1^{2}$
より、
$$ \begin{align} \triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}'&=\triangle \mathrm{ABC}\times(2x-1)^{2}\\ &=\left(2a\sqrt{1-a}\right)(2x-1)^{2} \end{align} $$ であることが分かる。

これと①式を式Ａに代入して、
$$ \begin{align} f(x)&=\triangle \mathrm{RPQ}-\triangle \mathrm{RP}'\mathrm{Q}'\\ &=\left(2a\sqrt{1-a}\right)x^{2}\\ &\hspace{60px}-\left(2a\sqrt{1-a}\right)(2x-1)^{2}\\ &=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\{x^{2}-(2x-1)^{2}\}\\ &=\left(2a\sqrt{1-a}\right)(-3x^{2}+4x-1) \end{align} $$ となる。

解答ケ：－, コ：３, サ：２, シ：４

次は$y=f(x)$の最大値だ。
$0 \lt x\leqq\dfrac{1}{2}$の範囲では単調に増加するのは明らかなので、最大値は$\dfrac{1}{2} \lt x \lt 1$の範囲にあると予想できる。
なので、$\dfrac{1}{2} \lt x \lt 1$における$f(x)=\left(2a\sqrt{1-a}\right)(-3x^{2}+4x-1)$の最大値を求めよう。
グラフは上に凸の放物線で、軸は
$x=\dfrac{-4}{2\cdot(-3)}=\dfrac{2}{3}$
である。$x=\dfrac{2}{3}$は$\dfrac{1}{2} \lt x \lt 1$の範囲に含まれるので、ここが最大だ。

なお、軸を求めるのには、

を使った。

解答ス：２, セ：３

最大値は、$f(x)=\left(2a\sqrt{1-a}\right)(-3x^{2}+4x-1)$に$x=\dfrac{2}{3}$を代入して、
$\left(2a\sqrt{1-a}\right)\left\{-3\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{2}+4\cdot\dfrac{2}{3}-1\right\}$
$$ \begin{align} \qquad&=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\left(-\dfrac{4}{3}+\dfrac{8}{3}-\dfrac{3}{3}\right)\\ &=\dfrac{1}{3}\cdot 2a\sqrt{1-a}\\ &=\dfrac{2a}{3}\sqrt{1-a} \end{align} $$ である。

解答ソ：２, タ：ａ, チ：３

図Ｃの赤い部分の面積$S$を求める。
$x=\dfrac{1}{2}$を境にグラフが変わっているので、分けて積分して足そう。

式Ｂより、$S$は
$$ \begin{align} S&=\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}\left(2a\sqrt{1-a}\right)x^{2}\,dx\\ &\hspace{30px}+\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}\left(2a\sqrt{1-a}\right)(-3x^{2}+4x-1)\,dx\\ &=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\left\{\begin{aligned}&\textcolor{red}{\int_{0}^{\tfrac{1}{2}}x^{2}\,dx}\\&+\textcolor{royalblue}{\int_{\tfrac{1}{2}}^{1}(-3x^{2}+4x-1)\,dx}\end{aligned}\right\} \end{align} $$ とかける。

と計算できる。

よって、$S$は、
$$ \begin{align} S&=\left(2a\sqrt{1-a}\right)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} \left(\frac{1}{3}+1\right)\\ &=\dfrac{4\cdot 2a}{3\cdot 2^{3}}\sqrt{1-a}\\ &=\dfrac{a}{3}\sqrt{1-a}\class{tex_formula}{式Ｃ} \end{align} $$ である。

解答ツ：ａ, テ：３

最後に、$a$を変数として、$0 \lt a \lt 1$における$S$の最大値を求める。
式Ｃを微分してと言いたいところだけれど、式Ｃの微分は数Ⅲの範囲になってしまう。
なので、$0 \lt S$だから、$S^{2}$が最大になるとき$S$も最大になることを利用する。

式Ｃの両辺を２乗して、
$$ \begin{align} S^{2}&=\dfrac{a^{2}}{9}(1-a)\\ &=-\dfrac{1}{9}a^{3}+\dfrac{1}{9}a^{2} \end{align} $$ となる。

解答ト：－, ナ：１, ニ：９, ヌ：１

これを微分して増減表をかく。
$$ \begin{align} \left(S^{2}\right)'&=-\dfrac{3}{9}a^{2}+\dfrac{2}{9}a\\ &=\dfrac{1}{9}a(-3a+2) \end{align} $$ より、$a=0,\dfrac{2}{3}$のとき$(S^{2})'=0$。
なので、増減表は、

となる。

解答ネ：２, ノ：３

最大値は、式Ｃに$a=\dfrac{2}{3}$を代入して、
$$ \begin{align} \dfrac{\cfrac{2}{3}}{3}\sqrt{1-\dfrac{2}{3}}&=\dfrac{2}{3^{2}}\sqrt{\dfrac{1}{3}}\\ &=\dfrac{2\sqrt{3}}{27} \end{align} $$ である。

解答ハ：２, ヒ：３, フ：２, ヘ：７