まず、三角形の内心について復習をしておこう。

復習

図Ａにおいて、
同じ色の線分の長さは等しい。
同じ色・記号の角の大きさは等しい。

等しい線分・角が、結構たくさんある。

復習が終わったところで、問題を解こう。

図Ｂにおいて、点Pは△ABDの内心なので、DPは∠ADBの二等分線。
よって、
$\displaystyle \angle \mathrm{ADP}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{ADB}$

解答ア：１, イ：２

同様に、点Qは△ACDの内心なので、DQは∠ADCの二等分線。
よって、
$\displaystyle \angle \mathrm{ADQ}=\frac{1}{2}\angle \mathrm{ADC}$

解答ウ：１, エ：２

以上より、
$\displaystyle \angle \mathrm{ADP}+\angle \mathrm{ADQ}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{ADB}+\angle \mathrm{ADC})$
$\angle \mathrm{ADB}+\angle \mathrm{ADC}=180^{\circ}$なので、
$\angle \mathrm{ADP}+\angle \mathrm{ADQ}=90^{\circ}$より、
$\angle \mathrm{PDQ}=90^{\circ}$である。
直径に対する円周角は直角なので、このことから、点Dは線分PQを直径とする円の円周上にあることが分かる。
よって、問題選択肢のうち正しいのは１。

解答オ：１

次は、①式。図Ａで復習した「頂点から２つの接点までの長さは等しい」ってのを使うんだろうって考えられるけど、図Ｂだとちょっとごちゃごちゃしすぎなので、必要な部分だけを抜き出そう。
ついでに、必要な部分を分かりやすく着色して名前をつけてみた。

図Ｃで、
$2b=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-(a+c)$
$2b$$=\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC}$
$b=\displaystyle \frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC}\right)$
$b=\mathrm{BH}$なので、
$\displaystyle \mathrm{BH}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC}\right)$①
①式ができた。

解答カ：２, キ：０

△ABDで同じように考えて、
$\displaystyle \mathrm{BE}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{BD}-\mathrm{AD}\right)$②

解答ク：３, ケ：１

△ACDで、
$\displaystyle \mathrm{DF}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AD}+\mathrm{CD}-\mathrm{AC}\right)$③

解答コ：１, サ：０

この①～③を使ってEHを表す。
図Ｂより、
$\mathrm{EH}=\mathrm{BH}-\mathrm{BE}$
なので、①式から②式を辺々引いてみよう。
$-)\displaystyle $$\displaystyle \mathrm{BH}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{BC}-\mathrm{AC}\right)$
$\underline{-)\mathrm{BE}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AB}+\mathrm{BD}-\mathrm{AD}\right)}$
$\displaystyle \mathrm{BH}-\mathrm{BE}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{BC}-\mathrm{BD}-\mathrm{AC}+\mathrm{AD}\right)$
$\mathrm{BC}-\mathrm{BD}=\mathrm{CD}$なので、
$\displaystyle \mathrm{BH}-\mathrm{BE}$$\displaystyle =\frac{1}{2}\left(\mathrm{AD}+\mathrm{CD}-\mathrm{AC}\right)$
$\displaystyle \mathrm{EH}=\frac{1}{2}\left(\mathrm{AD}+\mathrm{CD}-\mathrm{AC}\right)$
となる。この式の右辺は③式と同じなので、
$\mathrm{EH}=\mathrm{DF}$式Ａ
であることが分かる。

解答シ：３