①式を平方完成して、
$y=a^{2}\left(x^{2}-\frac{4}{a}x\right)+b$
$y$$=a^{2}\left\{x^{2}-\frac{4}{a}x+\left(\frac{2}{a}\right)^{2}-\left(\frac{2}{a}\right)^{2}\right\}+b$
$y$$=a^{2}\left(x-\frac{2}{a}\right)^{2}-a^{2}\left(\frac{2}{a}\right)^{2}+b$
$y$$=a^{2}\left(x-\frac{2}{a}\right)^{2}-4+b$
より、①のグラフの頂点の座標は
$\left(\frac{2}{a},b-4\right)$式Ａ

頂点の$x$座標が$1$以上$3$以下になればいいので、
$1\displaystyle \leqq\frac{2}{a}\leqq 3$
これを解く。

$1\displaystyle \leqq\frac{2}{a}$
$a\leqq 2$ $\displaystyle \frac{2}{a}\leqq 3$
$\displaystyle \frac{2}{3}\leqq a$
より、$\displaystyle \frac{2}{3}\leqq a\leqq 2$である。

解答サ：２, シ：３, ス：２

②の不等式が解をもつ条件を考える。
問題文より$a\neq 0$なので、$x^{2}$の係数の$a^{2}$は、
$0 \lt a^{2}$
だから、グラフは下に凸。
なので、頂点の$y$座標が負ならば、②の不等式は解をもつ。

式Ａより、頂点の$y$座標は$b-4$なので、
$b-4 \lt 0$
$b \lt 4$

解答セ：１, ソ：４

図の固定

②の解が$1 \lt x \lt 3$のとき、①のグラフは図Ａのようになる。

このグラフの式は
$y=a^{2}(x-1)(x-3)$
とかける。

展開すると、
$y=a^{2}x^{2}-4a^{2}x+3a^{2}$

これが①式になればいいので、
$\left\{\begin{array}{l}
-4a^{2}=-4a\\
3a^{2}=b
\end{array}\right.$
これを解く。

$-4a^{2}=-4a$
$a^{2}-a=0$
$a(a-1)=0$
$a\neq 0$なので、
$a=1$
これを下の式に代入して
$b=3$
である。

解答タ：１, チ：３