余弦定理より
$\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{CA}^{2}-2\cdot \mathrm{AB}\cdot \mathrm{CA}\cdot\cos\angle \mathrm{BAC}$
$\mathrm{BC}^{2}$$=1^{2}+\sqrt{3}^{2}-2\cdot 1\cdot\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$
$\mathrm{BC}^{2}$$=1+3+2$
$\mathrm{BC}^{2}$$=6$
$0 \lt \mathrm{BC}$なので、
$\mathrm{BC}=\sqrt{6}$

解答ア：６

面積は$S=\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin A$を使って求めよう。
そのために、まず$\sin\angle \mathrm{BAC}$を計算する。

$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\cos^{2}\angle \mathrm{BAC}=1$より、
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}+\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}=1$
$\sin^{2}\angle \mathrm{BAC}=1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{2}{3}$
$0 \lt \sin\angle \mathrm{BAC}$なので、
$\displaystyle \sin\angle \mathrm{BAC}$$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

以上より、$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は、
$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$
$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
となる。

解答イ：２, ウ：２

BDは△ABCの外接円の直径。
外接円の半径を$R$とすると、これが含まれている公式は２つある。
正弦定理
$\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ 三角形の面積の公式
$S=\displaystyle \frac{abc}{4R}$ 今回は、△ABCの３つの辺の長さと面積、それにひとつの角の$\sin$，$\cos$が分かっているので、どちらの公式も使える。なので、簡単な方の正弦定理を使おう。

△ABCの外接円の半径を$R$とすると、正弦定理より、
$2R=\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{C}}{\sin\angle \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}}$
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}$
$2R\displaystyle $$\displaystyle =\frac{\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$2R$$=3$
より、$\mathrm{BD}=3$
ここで問われているのは外接円の直径なので、$2R$が分かればよく、$R$を求める必要はない。

解答エ：３

別解

ちなみに、面積の公式から求めるとこうなる。

三角形の面積の公式より、
$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\mathrm{A}\mathrm{B}\cdot \mathrm{B}\mathrm{C}\cdot \mathrm{C}\mathrm{A}}{4R}$
$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}}{4R}$
$\sqrt{2}\cdot 4R=2\cdot 1\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{6}$
$4R=2\cdot\sqrt{3}^{2}$
$2R=3$
より、$\mathrm{BD}=3$

解答エ：３

次に、△BCDの面積を求めよう。
∠BCDは直径に対する円周角なので、直角。
これを使って、三平方の定理でCDを計算し、あとは$\displaystyle \frac{1}{2}$×底辺×高さで面積を出そう。

三平方の定理より、
$\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{BD}^{2}-\mathrm{BC}^{2}$
$\mathrm{CD}^{2}$$=3^{2}-\sqrt{6}^{2}$
$\mathrm{CD}^{2}$$=3$
$0 \lt \mathrm{CD}$なので、
$\mathrm{CD}=\sqrt{3}$

△BCDの面積を$S$とすると、
$S=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \mathrm{BC}\cdot \mathrm{CD}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{3}$
$S\displaystyle $$\displaystyle =\frac{3\sqrt{2}}{2}$
である。

解答オ：３, カ：２, キ：２

最後に、AEとDEの長さの比が聞かれている。
多くの受験生は、ここで一瞬悩むと思うんだ。
なので、分からなくなったときの考え方を説明する。

三角形や円の問題で、線分の長さの比といえば、
方べきの定理 チェバの定理 メネラウスの定理 が思いつくけれど、ここではどれも使えない。

アドバイス

マークシート試験で悩んだときは、上を見て、下を見る。つまり、これまでに解いたことを振り返り、それでも分からなければ先を読む。

で、上を見ると、
問題の前半の流れは、△ABCの面積を求めて終わっている。 問題の後半の流れは、△BCDの面積を求めて終わっている。 ということは、三角形の面積から線分の比を求めるんじゃないかと気づく。

図Ｂを見てほしい。
Hは点Aから辺BCに下ろした垂線の足である。
△ABC，△BCDともに、底辺はBCで共通。
なので、面積比=高さの比になるから、
$\displaystyle \mathrm{AH}:\mathrm{DC}=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{3\sqrt{2}}{2}=1:3$式Ａ

△AEHと△DECは相似なので、
$\mathrm{AE}:\mathrm{DE}=\mathrm{AH}:\mathrm{DC}$式Ｂ

式Ａ，式Ｂより、
$\mathrm{AE}:\mathrm{DE}=1:3$
$\displaystyle \frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{D}\mathrm{E}}=\frac{1}{3}$
である。

解答ク：１, ケ：３